Determinación y Uso de la Razón de la Tangente

En esta sección del capítulo, determinarás y usarás la razón de la tangente.

¿Alguna vez has construido y lanzado un cohete? Observa este dilema.

Craig lanzó un modelo de cohete y quería calcular qué tan alto llegaría. Se paró a 10 pies de distancia del sitio de lanzamiento y usó una herramienta para calcular el ángulo entre el suelo y su línea de visión del cohete en su punto más alto. Sus datos se muestran en el siguiente diagrama.

Calcula la mayor altura que alcanzó el modelo de cohete.

Para calcular esto, necesitarás usar una razón trigonométrica llamada tangente. Pon atención y aprenderás como resolver este problema con éxito.

Orientación

Consideremos las razones trigonométricas.

Una razón trigonométrica de un ángulo específico será constante sin importar qué tan grande o pequeño sea el triángulo. La idea es que los lados siempre estarán en proporción con los demás. Así que, si necesitas la medida de un ángulo (y, por lo tanto, puede identificar el valor de una razón trigonométrica) y el valor de un lado, puedes usar la trigonometría para calcular las longitudes de los otros lados.

El truco es usar buenas técnicas algebraicas y asegurarte de que cada vez que establezcas una razón, estás usando los valores y las variables de la forma correcta.

Puedes encontrar las razones trigonométricas usando tu calculadora.

Comprendes las razones trigonométricas y hemos tenido la oportunidad de practicar al leer valores específicos de una tabla.

Puedes encontrar la razón de cualquier valor trigonométrico usando tu calculadora. Busca los botones de seno, coseno y tangente en la calculadora. Ten en cuenta que, generalmente, el seno se abrevia como sin , el coseno como cos , y la tangente como tan.

Presiona la tecla de la razón que quieres encontrar e ingresa el ángulo en cuestión. Si presionas enter, o calcular, la calculadora te mostrará los valores de esa razón específica.

Veamos cómo encontrar la razón de la tangente usando una calculadora.

$\text{tangent} \ 82^{\circ}$

Puedes encontrar el valor de cada razón tu calculadora. Cuando te enfrentes a valores con decimales largos, generalmente es mejor redondear los números al milésimo más cercano. Te dará un valor razonablemente apropiado, que no será muy largo para trabajar con él.

La tangente de $82^{\circ}$ es 7.11536972238419..., o alrededor de 7.115.

Ahora, podemos usar la razón de la tangente para encontrar la longitud de la altura de un triángulo rectángulo. Podemos ver que la altura en un triángulo rectángulo se parece al lado $a$ . Esto es debido al tipo de triángulo que es un triángulo rectángulo. Como recordarás, la razón de la tangente es $\frac{opposite}{adjacent}$ . Si conoces el valor de la tangente del ángulo en cuestión y la longitud del lado adyacente, puedes encontrar la medida del lado opuesto.

Mira la siguiente situación algebraica.

$\text{tangent} \angle X&=\frac{opposite}{adjacent}\\\\text{tangent} \angle X \times adjacent &= \frac{opposite}{adjacent} \times adjacent\\\\text{tangent} \angle X \times adjacent &=opposite$

Si multiplicas la tangente de cualquier ángulo $X$ y la longitud del lado adyacente, el resultado es la longitud del lado opuesto.

Escribe este enunciado en tu cuaderno. Asegúrate que esté conectado a las tangentes.

Mira esta situación.

¿Cuál es la longitud del lado $QR$ en el siguiente triángulo?

Usa la siguiente ecuación para encontrar la longitud del lado opuesto al ángulo $P$ . Observa que para encontrar la medida del lado opuesto, primero necesitamos encontrar la tangente del ángulo con el que estamos trabajando. Luego, podemos tomar esa medida y multiplicarla por el lado adyacente.

$\text{tangent} \angle P \times adjacent &=opposite\\\\text{tangent} \ 72 \times 8 &=opposite\\\3.078 \times 8 &= opposite\\\24.624 &= opposite$

La longitud del lado $QR$ es 24,624 unidades.

Usa una calculadora para calcular cada tangente. Puedes aproximar al céntimo más cercano.

Ejemplo A

$\text{tangent} \ 32^{\circ}$

Solución: $.62$

Ejemplo B

$\text{tangent} \ 15^{\circ}$

Solución: $.27$

Ejemplo C

$\text{tangent} \ 89^{\circ}$

Solución: $57.29$

Ahora, regresemos al problema que encontramos al principio de la Sección.

En este problema, tienes mucha información, pero los únicos datos importantes son la forma del triángulo, la longitud de la base y la medida del ángulo. La base es el lado adyacente al lugar en el que Craig está y quieres encontrar el valor del lado opuesto a donde Craig estaba. Para este propósito, la hipotenusa del triángulo es irrelevante.

Ya que tienes el ángulo y el lado adyacente, puedes encontrar una tangente para descubrir la altura del triángulo.

$\text{tangent} &=\frac{opposite}{adjacent}\\\\text{tangent} ~ 65^{\circ} &= \frac{opposite}{10 \ feet}\\\2.145 &=\frac{opposite}{10 \ feet}\\\2.145 \times 10 \ feet &= \frac{opposite}{10 \ feet} \times 10 \ feet\\\21.45 \ feet &=opposite$

El cohete de Craig alcanzó su mayor altura a los 21,45 pies, ¡casi 21 y $\frac{1}{2}$ pies de alto!

Vocabulario

Seno: Una razón entre el lado opuesto y la hipotenusa de un ángulo dado.

Coseno: Una razón entre el lado adyacente y la hipotenusa de un ángulo dado.

Tangente: Una razón entre el lado opuesto y el adyacente de un ángulo dado.

Razones Trigonométricas: Usadas para encontrar las longitudes faltantes de un lado de un triángulo rectángulo cuando se conocen las medidas de los ángulos.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que lo resuelvas tú mismo.

Tenemos un triángulo rectángulo. El ángulo A es 50 grados. El lado adyacente del triángulo al ángulo A es 4 pulgadas. ¿Cuál es la longitud del lado opuesto?

Solución

Para calcular esto, podemos usar la tangente del ángulo y multiplicarla por la longitud del lado adyacente.

Mira esto.

$\text{tangent} \angle A \times adjacent &=opposite\\\\text{tangent} \ 50 \times 4 &=opposite\\\1.19 \times 4 &= opposite\\\4.76 &= opposite$

La longitud del lado opuesto es 4,76 pulgadas.

Revisión en Video

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Khan Academy Basic Trigonometry II

“Este video solo está disponible en inglés”

Práctica

Instrucciones: Usa una calculadora para calcular cada tangente. Puedes aproximar al céntimo más cercano.

1. $\text{Tangent} \ 7^{\circ}$

2. $\text{Tangent} \ 41^{\circ}$

3. $\text{Tangent} \ 65^{\circ}$

4. $\text{Tangent} \ 22^{\circ}$

5. $\text{Tangent} \ 18^{\circ}$

6. $\text{Tangent} \ 35^{\circ}$

7. $\text{Tangent} \ 50^{\circ}$

8. $\text{Tangent} \ 54^{\circ}$

9. $\text{Tangent} \ 66^{\circ}$

10. $\text{Tangent} \ 70^{\circ}$

Instrucciones: Encuentra la longitud del lado opuesto en cada ejemplo.

11. Tenemos un triángulo rectángulo. El ángulo A es 45 grados. El lado adyacente del triángulo al ángulo A es 6 pulgadas. ¿Cuál es la longitud del lado opuesto?

12. Tenemos un triángulo rectángulo. El ángulo B es 63 grados. El lado adyacente del triángulo al ángulo B es 7 pulgadas. ¿Cuál es la longitud del lado opuesto?

13. Tenemos un triángulo rectángulo. El ángulo A es 29 grados. El lado adyacente del triángulo al ángulo A es 6 pulgadas. ¿Cuál es la longitud del lado opuesto?

14. Tenemos un triángulo rectángulo. El ángulo B es 12 grados. El lado adyacente del triángulo al ángulo B es 4.5 pulgadas. ¿Cuál es la longitud del lado opuesto?

15. Tenemos un triángulo rectángulo. El ángulo A es 9 grados. El lado adyacente del triángulo al ángulo A es 8 pulgadas. ¿Cuál es la longitud del lado opuesto?