Cómo Hallar las Dimensiones y Área de los Cuadriláteros

En esta sección, hallarás las dimensiones y áreas de distintos cuadriláteros.

¿Alguna vez has asistido a una Olimpiada escolar? Analicemos este problema.

La Escuela Intermedia Montgomery va a organizar por primera vez una Olimpiada para toda la escuela. Los estudiantes han estudiado las Olimpiadas griegas y hubo tanto entusiasmo en el contenido de esa materia que la Directiva de la escuela decidió promover este evento. Cada clase se encarga de una parte del proyecto. Ya empezaron los preparativos iniciales, por lo que en seis semanas más ocurrirá una fantástica Olimpiada de dos días.

La clase de la Srta. Hamilton va a preparar un área para entregar los premios de los estudiantes luego de la competencia. El área tiene la forma de un trapezoide. Samuels, el guardia, excavó un espacio perfecto para una plataforma y los estudiantes tendrás que usar cemento para llenar el área de la zona de premiación.

“¿Cómo haremos esto?”, preguntó Kelly a la Srta. Hamilton.

“Bueno, calculémoslo. Sabemos que el área estará nivelada y el Sr. Samuels ya nos ayudó con el espacio. Ahora debemos determinar el área del trapezoide para calcular cuánto cemento necesitaremos.”

“Podemos empezar con el área”, dijo Casey sonriendo.

“Probablemente sea lo mejor”, afirmó la Srta. Hamilton.

Si las bases del trapezoide son de 35 pies y de 41 pies y que, además, la altura del trapezoide es de 7,5 pies, ¿cuál es el área del trapezoide?

Si un balde de cemento cubre 25 pies cuadrados, ¿Cuántos baldes necesitarán los estudiantes?

En esta sección, aprenderás a resolver este tipo de ejercicios. Pon atención y podrás resolver este problema muy pronto.

Orientación

Los Cuadriláteros son polígonos de cuatro lados. Los rectángulos, cuadrados, paralelogramos, rombos and trapezoides son todos cuadriláteros.

Cada cuadrilátero tiene su propia fórmula de área. También podemos hallar el área de cualquiera de estos cuadriláteros utilizando lo que sabemos sobre triángulos, ya que podemos dividirlos en dos triángulos.

Observa.

Sin embargo, sigue siendo un proceso complicado aun cuando sabemos que podemos hallar el área de estos cuadriláteros dividiéndolos en triángulos. Por ejemplo, ¿cómo podrías calcular la altura de un trapezoide? Es por eso que es muy útil tener fórmulas para el área de cada uno de los distintos tipos de cuadriláteros.

Empecemos analizando los rectángulos.

Para encontrar el área de un rectángulo, multiplicamos el largo por el ancho.

$A=lw$

Ahora apliquemos la fórmula.

¿Cuál es el área de un rectángulo con un largo de 6 pulgadas y un ancho de 4 pulgadas?

Para descubrirlo, sustituiremos los valores de largo y ancho en la fórmula.

$A &=lw\\\A &=(6)(4)\\\A &=24 \ sq.in.$

Esta es la respuesta.

Nótese que escribimos las unidades de medida en pulgadas cuadradas, pues hemos estado calculando el área.

¿Qué hay de los paralelogramos?

Los paralelogramos son muy similares a los rectángulos. De hecho, un rectángulo es un tipo de paralelogramo. Sin embargo, algunos paralelogramos no tienen cuatro ángulos rectos. Por ello, tenemos que usar una fórmula diferente para ellos. Para hallar el área de un paralelogramo, multiplicamos la base (b) por la altura (h).

Ahora podemos sustituir estos valores en la fórmula.

$A &=bh\\\A &=(5)(4)\\\A &=20 \ sq.meters$

Esta es la respuesta.

¿Qué hay de los trapezoides?

Un trapezoide es una figura interesante, porque tiene dos bases y una altura. Debemos considerar las longitudes de las dos bases y la altura del trapezoide para determinar su área. Ésta es la fórmula que podemos usar para encontrar el área de un trapezoide.

$A=\frac{1}{2}({b_1}+{b_2})h$

Si sustituimos los valores en esta fórmula, podremos encontrar el área de cualquier trapezoide.

Analicemos este ejercicio.

Encuentra el área de este trapezoide.

$A &=\frac{1}{2}(5+8)(4)\\\A &=\frac{1}{2}(13)(4)\\\A &=\frac{1}{2}(52)\\\A &=26 \ sq.inches$

Esta es la respuesta.

Podemos usar las fórmulas de área de los cuadriláteros para obtener dimensiones desconocidas de la misma forma que lo hacemos con los triángulos. Simplemente debemos llenar la información que tenemos en la fórmula apropiada y despejar la variable desconocida. Asegúrate de saber que fórmula usar.

Encuentra el área de cada cuadrilátero.

Ejemplo A

Un cuadrado con un lado de longitud 4,5 pulgadas.

Solución: $20.25$ pulgadas cuadradas

Ejemplo B

Un rectángulo con un largo de 8 pies y un ancho de 6,25 pies.

Solución: $50$ pies cuadrados

Ejemplo C

Un paralelogramo con una base de 10 metros y una altura de 7,5 metros.

Solución: $75$ metros cuadrados

Ahora volvamos al problema al principio de la Sección.

Lo primero que debemos hacer es decidir con qué clase de polígono estamos trabajando. La carretera de la imagen tiene dos lados paralelos, pero uno es más pequeño que el otro. Esto es un trapezoide, por lo que sabemos que debemos usar la fórmula del área para los trapezoides.

¿Qué es lo que nos pide encontrar el problema? Debemos encontrar la cantidad de baldes de cemento necesarias para cubrir el área la zona de premiación. Sin embargo, para poder determinar esto, primero debemos encontrar el área del trapezoide de modo de saber cuánto espacio debe cubrirse. Usaremos la fórmula para obtener el área del trapezoide.

¿Qué información tenemos hasta ahora? Sabemos que una base, el lado largo del trapezoide, es de 41 pies. La base más corta es de 35 pies. En este caso, la altura del trapezoide es la distancia a través de la plataforma, lo que equivale a 7,5 pies. Introduzcamos esta información a la fórmula y despeja $A$ :

$A &= \frac{1}{2}(b_{1}+b_{2})h\\\A &= \frac{1}{2}(41 + 35)(7.5)\\\A &= \frac{1}{2}(76) (7.5)\\\A &= 38 (7.5)\\\A &= 285 \ ft^2$

El área de la plataforma es de 285 pies cuadrados.

Sin embargo, ¡aún no hemos terminado! Recuerda, tenemos que encontrar cierta cantidad de baldes de cemento. ¿Qué información tenemos respecto al cemento? Sabemos que un balde de cemento cubre 25 pies cuadrados.

Para hallar la cantidad de baldes necesarios para cubrir todo el área, debemos dividir el área por 25.

$285 \div 25= 11.4$

Por tanto, los estudiantes deben comprar 12 baldes de cemento para pavimentar el área de premiación.

Vocabulario

Polígono: Figura cerrada simple compuesta de, al menos, tres segmentos de recta.

Cuadrilátero: Polígono de cuatro lados.

Área: Espacio bidimensional que ocupa una figura.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que intentes resolverlo.

Un paralelogramo tiene un área de $105 \ m^2$ La altura del paralelogramo es 7 m. ¿Cuál es su base?

Solución

Antes que nada, ¿de qué tipo es el cuadrilátero de este problema? Nos dice que la figura es un paralelogramo, por lo que debemos usar la fórmula $A = bh$ . Conocemos el área y la altura del paralelogramo, por lo que podemos introducir estos números en la fórmula y despejar la base, $b$ .

$A &= bh\\\105 &= b (7)\\\105 \div 7 &= b\\\15 \ m &= b$

Al despejar $b$ , descubrimos que la base del paralelogramo es de 15 metros.

Verifiquemos nuestros cálculos para asegurarnos. Podemos verificar introduciendo la base y la altura en la fórmula y despejando el área:

$A &= bh\\\A &= 15 (7)\\\A &= 105 \ m^2$

Sabemos que el área es de $105 \ m^2$ , por lo que nuestros cálculos son correctos.

Repaso en Video

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*Solo en Inglés

Area of Rectangles

Práctica

Instrucciones: Encuentra el área de los siguientes rectángulos.

$l=10 \ in, \ w=7.5 \ in$
$l=12 \ ft, \ w=9 \ ft$
$l=14 \ ft, \ w=11 \ ft$
$l=21 \ ft, \ w=19 \ ft$

Instrucciones: Encuentra el área de cada paralelogramo.

$b=11 \ ft, \ h=9 \ ft$
$b=13 \ in, \ h=11 \ in$
$b=22 \ ft, \ h=19 \ ft$
$b=31 \ meters, \ h=27 \ meters$

Instrucciones: Encuentra el área de cada trapezoide.

$Bases=5 \ in \ and \ 8 \ in, \ height=4 \ inches$
$Bases=6 \ in \ and \ 8 \ in, \ height=5 \ inches$
$Bases=10 \ feet \ and \ 12 \ feet, \ height=9 \ feet$

Instrucciones: Encuentra el área de cada cuadrado.

Lado de longitud 8 pulgadas
Lado de longitud 15 pies
Lado de longitud 22.5 mm
Lado de longitud 18,25 cm

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