Área de los Círculos

En esta sección, calcularás el área de los círculos y el área de los sectores de los círculos.

¿Alguna vez has lanzado un disco olímpico? Analicemos este problema.

“No sé cómo resolver esto”, dijo Jesse una mañana a su amiga Emory.

“¿Resolver qué?” preguntó Emory.

“Tengo que calcular el área del anillo del disco. Eso fue lo que la Srta. Henry me pidió resolver”, dijo Jesse.

“Bueno, ¿qué es lo que sabes?”

“Sé que tiene la forma de un círculo y también que el diámetro de círculo es de 8 pies. Ahora necesito el área del anillo, pero no sé cómo seguir”, explicó Jesse.

“Eso no es tan difícil”, dijo Emory.

Jesse miró a su amiga con rostro confundido.

Aquí aprenderás todo sobre el área y los círculos. Al final de la sección, sabrás cómo hallar el área del anillo del disco.

Orientación

Los Círculos son figuras geométricas únicas. Un círculo es un conjunto de puntos que son equidistantes de un punto centr.

El radio de un círculo es la distancia desde el centro hacia cualquier punto del círculo. El diámetro es la distancia entre dos puntos pasando por el centro. El diámetro es siempre el doble que el radio.

También usamos el número especial pi cuando realizamos cálculos con círculos. Pi es un decimal que es infinitamente largo (3.14159265...), Sin embargo, en nuestros cálculos, lo redondearemos a 3,14. Usamos el símbolo $\pi$ para representar este número.

El Área es la cantidad de espacio bidimensional que ocupa una figura. En otras palabras, el área es el espacio contenido dentro de la circunferencia de un círculo.

En los rectángulos, sabemos que el área es una medida del largo multiplicado por el ancho (las dos dimensiones). Los círculos son figuras curvas, por lo que ¿cómo podemos medir su largo y ancho?

Bueno, podemos cortar un círculo en porciones pequeñas, llamadas sectores .

Un sector es una parte de un círculo que tiene radios en dos lados y parte de la circunferencia curva en otro. Los sectores parecen pedazos de pastel.

Podemos ordenar los sectores de un círculo para que se asemejen a un rectángulo. Analicemos esta imagen.

Para hallar el área del rectángulo, multiplicamos las dos dimensiones, largo y ancho. Esto nos da la fórmula $A = lw$ . Podemos hacer lo mismo para los sectores que fueron ordenados en forma de rectángulo. Esto nos da $A =\pi r \times r$ , o $\pi r^2$ . Por tanto, la fórmula para encontrar el área de los círculos es la siguiente.

$A=\pi r^2$

Ya sabemos que el símbolo $\pi$ representa el número 3,14, por lo que todo lo que necesitamos saber para encontrar el área de un círculo es su radio. Solo debemos introducir este número en la fórmula reemplazando la $r$ y despejar el área, $A$ .

Podemos usar esta fórmula cuando nos dan ya sea el radio o el diámetro de círculo.

Observa.

¿Cuál es el área del círculo siguiente?

Sabemos que el radio del círculo es de 12 centímetros. Introducimos este número en la fórmula y despejamos la $A$ .

$A & =\pi r^2\\\A &=\pi (12^2)\\\A &= 144 \pi\\\A & = 452.16 \ {cm^2}$

Recuerda que elevar un número al cuadrado es lo mismo que multiplicarlo por sí mismo. El área de un círculo con radio de 12 centímetros es 452,16 centímetros cuadrados cuando aproximamos pi como 3,14. Siempre hay que representar el área en unidades cuadradas.

¡Excelente trabajo! También podemos usar la fórmula para encontrar el radio o el diámetro si conocemos el área. Veamos cómo funciona esto.

El área de un círculo es de 113,04 pulgadas cuadradas. ¿Cuál es su radio?

Esta vez, conocemos el área y debemos encontrar el radio. Podemos introducir en la fórmula el valor del área y usarla para despejar el radio, $r$ .

$A &=\pi r^2\\\113.04 &= \pi r^2\\\113.04 \div \pi & = r^2\\\36 & = r^2\\\\sqrt{36} &= r\\\6 \ in.& = r$

Para resolver este problema, debemos aislar la variable $r$ . Primero, dividimos ambos lados por $\pi$ , o 3.14. Luego, para remover el exponente, sacamos la raíz cuadrada de ambos lados. Una raíz cuadrada es un número que, cuando se multiplica por sí misma, nos da el número mostrado. Sabemos que 6 es la raíz cuadrada de 36, ya que $6 \times 6 = 36$ .

El radio de un círculo con un área de 113,04 pulgadas cuadradas es 6 pulgadas.

Usando lo que hemos aprendido, ¿podemos encontrar el área de un sector?

A veces, nos piden encontrar el área de un sector, o porción, de un círculo, tales como un cuarto o la mitad del círculo. Mientras conozcamos el radio, podemos encontrar el área de todo el círculo. Entonces, podemos dividir esa área en piezas más pequeñas o restar una porción para encontrar el área de parte del círculo. Probemos esto.

¿Cuál es el área de la siguiente figura?

Esta figura es un cuarto de un círculo, formado por un ángulo de $90^\circ$ grados. Recuerda que los círculos tienen $360^\circ$ . grados. Un cuarto de $360^\circ$ es $90^\circ$ . Sabemos que el radio de todo el círculo es 8,5 pulgadas, ya que los dos lados del sector son radios del círculo. Usemos este valor para empezar a despejar el área del círculo completo.

$A & =\pi r^2\\\A &= \pi (8.5^2)\\\A &= 72.25 \pi\\\A &= 226.87 \ in.^2$

Sabemos que el área del círculo entero con radio de 8,5 pulgadas es de 226,87 pulgadas cuadradas.

Por tanto, el cuarto de círculo formado por el ángulo de $90^\circ$ angle must have $\frac{1}{4}$ grados debe tener un de esta área. Podemos dividir el área en 4 para encontrar el área del sector: $226.87 \div 4 = 56.72$ pulgadas cuadradas. Mientras podamos encontrar el área de un círculo completo, podemos dividir o restar para encontrar el área de un sector de un círculo.

Escribe en tu cuaderno cómo puedes encontrar el área de un círculo y el área de un sector.

Encuentra el área de cada círculo usando la dimensión dada.

Ejemplo A

Diámetro = 8 pulgadas

Solución: $50.24 \ sq. in.$

Ejemplo B

Radio = 3 pies

Solución: $28.26 \ sq. ft.$

Ejemplo C

Radio = 2.5 pulgadas

Solución: $19.63 \ sq. in.$

Ahora volvamos al problema al principio de la Sección.

Para resolver este problema, empecemos analizando la información conocida. Sabemos que el círculo es la forma del anillo del disco. También sabemos que el diámetro del anillo es de 8 pies. Esta información es todo lo que necesitamos.

Analicemos la fórmula para encontrar el área de un círculo.

$A=\pi {r^2}$

Sabemos que el diámetro del círculo es 8 pies. El radio es desconocido. El radio es $\frac{1}{2}$ del diámetro, por lo que el radio del anillo del disco es de 4 pies.

Ahora podemos sustituir la información dada en la fórmula y resolver la fórmula.

$A &= \pi {r^2}\\\A &= (3.14)(4^2)\\\A &= (3.14)(16)\\\A &= 50.24 \ sq. feet$

Esta es el área del anillo del disco.

Vocabulario

Círculo: Todos los puntos equidistantes a un punto central.

Radio: Distancia de la mitad de un círculo.

Diámetro: Distancia a través de un círculo.

Circunferencia: Distancia alrededor de un círculo.

Área: Medida del espacio bidimensional dentro de un círculo.

Sector: Medida de una sección de un círculo.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que intentes resolverlo.

¿Cuál es el área de un círculo con diámetro de 45 centímetros?

Solución

¡Lee cuidadosamente el problema! Debemos encontrar el área, pero ¿qué información nos dan en el problema? Esta vez, conocemos el diámetro, no el radio. ¿Cómo podemos encontrar el radio para que podamos usar la fórmula del área?

Sabemos que el diámetro de un círculo siempre es el doble del largo del radio.

Si el diámetro es de 45 centímetros, entonces el radio debe ser $45 \div 2 = 22.5 \ centimeters$ .

Ahora podemos introducir este número en la fórmula.

$A &=\pi r^2\\\A &=\pi(22.{5^2})\\\A &= 506.25 \pi\\\A &= 1,589.63 \ {cm^2}$

El área de un círculo con diámetro de 45 centímetros (y un radio de 22,5 centímetros) es 1,589.63 centímetros cuadrados cuando aproximamos pi como 3,14.

Repaso en Video

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

*Solo en Inglés

Khan Academy Area of a Circle

Práctica

Instrucciones: Encuentra el área de cada círculo dado su radio.

$r=4 \ in$
$r=3 \ ft$
$r=2.5 \ in$
$r=5 \ cm$
$r=3.5 \ in$
$r=9 \ mm$
$r=11 \ cm$
$r=10 \ in$
$r=7 \ ft$
$r=8 \ in$

Instrucciones: Encuentra el área de cada sector dado su radio y la medida de su ángulo. De ser necesario, puedes redondearla a la centena más cercana.

Angulo de $45^\circ$ con un radio de 3 pulg.
Angulo de $55^\circ$ con un radio de 4 mm.
Angulo de $60^\circ$ con un radio de 5 cm.
Angulo de $43^\circ$ con un radio de 6 pulg.
Angulo de $70^\circ$ con un radio de 2 pulg.

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