Clasificación de Sólidos

¿Alguna vez has recibido una medalla o un trofeo? Analicemos este problema.

“Creo que, en vez de medallas, sería genial que usáramos una pirámide como premio”, dijo Jose un lunes en la hora de almuerzo.

“No creo. Una medalla es algo tradicional, por lo que creo que es mejor apegarnos a eso”, discrepó Travis.

“Es que las medallas son tan planas... Me gusta la idea de hacer algo diferente. Además, es nuestra primera Olimpiada, por lo que nuestros premios deben verse interesantes y únicos”, añadió Marcy.

“¿Qué tal un prisma? Algo genial como un prisma pentagonal. Lo dibujaré para que entiendan la idea”, dijo Jose sacando lápiz y papel.

“¿Qué es eso?”, dijo Marcy asomándose por el hombro de Jose.

“Un prisma pentagonal”, dijo Jose.

“No lo es: dibujaste mal todas las caras y las aristas.”

¿Cuántas caras y aristas tiene un prisma pentagonal? Cuando trabajas con sólidos, hay patrones que pueden ayudarte a determinar esta información. Al final de esta Sección, tendrás que determinar las partes de un prisma pentagonal.

Orientación

Los Solidos son formas que existen en un espacio tridimensional.

A diferencia de las figuras planas, que solo tiene largo y ancho, los sólidos tienen largo, ancho y altura .

Empecemos identificando los sólidos.

Aquí hay tres prismas diferentes. Cada figura tiene dos bases congruentes en común y estas bases son hexágonos, pentágonos y triángulos. Los lados de cada figura están compuestos por rectángulos. Nombramos a etas figuras de acuerdo a su base: un prisma hexagonal, un prisma pentagonal y un prisma triangular. Nótese que la clave de los prismas es que sus lados son rectángulos.

Hay otra clase de sólido, denominado pirámide .

Una pirámide tiene una base y lados triangulares que se unen en un solo vértice.

Identificamos una pirámide de acuerdo a su base.

Aquí se muestran algunas pirámides.

También hay otros solidos que tienen círculos. Estos son, respectivamente, un cilindro, un cono y una esfera.

Los sólidos tienen caras , aristas y vértices . Podemos usar el número de caras, aristas y vértices existentes para identificar los sólidos.

¿Qué es una cara?

Una cara es el lado plano de un sólido. Las caras tienen la forma de figuras planas, como triángulos, rectángulos y pentágonos.

¿Qué es una arista?

Una arista es el lugar donde se juntan dos caras. Las aristas deben ser rectas; nunca son curvas.

¿Qué es un vértice?

Un Vértice es el punto donde se juntan las aristas. Normalmente los vemos como los puntos de una figura.

Podemos identificar las tres partes de un sólido viendo el siguiente diagrama.

Una vez que sabes cómo identificar las caras, aristas y vértices de un sólido, podrás contarlas también.

¿Cuántas caras, aristas y vértices tiene la siguiente figura?

Primero, contemos las caras.

Recuerda que cada cara es una figura plana. En esta figura, las bases, arriba y abajo, son hexágonos y todos los lados son rectángulos. Hay seis caras en los lados y dos bases. Esta figura tiene ocho caras en total.

Ahora contemos las aristas donde las caras se juntan.

Hay seis en el hexágono superior en las líneas superiores de cada lado. También hay seis en el hexágono inferior en las líneas inferiores de cada lado y hay seis aristas más en las líneas en que los lados se juntan. Esta figura tiene 18 aristas.

Ahora encontramos los vértices.

Recuerda, un vértice es parecido a una esquina. Esta figura tiene seis esquinas, o vértices, arriba y seis en el fondo. Hay doce vértices en total.

Podemos contar las caras, aristas y vértices de todos los sólidos.

Esta información también puede ayudarnos a clasificarlos. Si vemos los prismas y pirámides, puedes ver la cantidad de aristas, caras y vértices. Sin embargo, si vemos una esfera, un cono y un cilindro, verás que las caras, aristas y vértices no aplican en todos los casos.

Veamos esta tabla para ayudarnos a clasificar los sólidos de acuerdo a sus caras, aristas y vértices.

Copia esta tabla en tu cuaderno.

Si sabes cómo identificar una figura, entonces también puedes dibujarla. Observa.

Dibuja un prisma triangular.

Sabemos que un prisma triangular tiene dos bases en forma de triángulos. Para dibujar el prisma triangular, empecemos dibujando su base.

Luego, dibujemos el lado del frente. Sabemos que un prisma tiene lados rectangulares, todos con la misma altura. También sabemos que la arista inferior del lado rectangular se conecta con una arista de la base, por lo que podemos dibujar la cara rectangular unida a la base.

Ahora debemos mostrar el ancho y la altura del prisma. Primero dibujemos la cara superior. La cara superior tiene exactamente el mismo tamaño y forma que la base, solo que está conectado a una arista superior del lado rectangular. Imagina deslizar el triángulo base arriba para ponerlo encima del rectángulo.

Ahora hemos mostrado las vistas frontales y superiores del prisma. Todo lo que queda hacer es conectar cualquier otro vértice de la cara superior con los vértices correspondientes de la base. En este caso, solo debemos dibujar una arista más que conecte los triángulos superior e inferior

Es fácil entender cómo dibujar esta figura una vez que entiendes que las bases son triángulos y que, como en todo prisma, los lados son rectángulos. Tras conectar los triángulos, se forma el sólido.

Nombra cada sólido.

Ejemplo A

Solución: Prisma Rectangular

Ejemplo B

Solución: Prisma Hexagonal

Ejemplo C

Solución: Cono

Ahora volvamos al problema al principio de la Sección.

Para determinar las caras, aristas y vértices de un prisma pentagonal, podemos ver los patrones. Primero, sabemos que nos da el patrón del número de caras de un prisma, siendo la cantidad de lados de la base. El pentágono tiene cinco lados, por lo que sabemos que es 5.

Ahora podemos hacer un dibujo de un prisma pentagonal.

Puedes contar las aristas en el dibujo. Hay 15 aristas en el prisma pentagonal.

Hay 10 vértices en el prisma pentagonal.

Vocabulario

Solidos

Figuras tridimensionales con largo, ancho y altura.

Prismas

Figuras tridimensionales con polígonos como bases y rectángulos en las caras laterales.

Pirámide

Figuras tridimensionales con un polígono como base y caras laterales triangulares que se juntan en un solo vértice.

Cara

Superficies planas de una figura tridimensiona.

Arista

Lugar donde dos segmentos de recta se juntan en una figura tridimensional.

Vértice

Punto donde las aristas se juntan en una figura tridimensional.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que intentes resolverlo.

Dibuja un cilindro.

Solución

Nuevamente, empieza con las bases. Los cilindros tienen dos bases circulares. Por tanto, debemos dibujar una base circular y una cara superior circular. Primero, dibujemos la base.

Luego, añadimos la vista frontal, al igual que cuando dibujamos el lado rectangular del prisma anterior. Sin embargo, los cilindros no tienen una cara lateral. Sus lados son curvos. Imagina sostener un cilindro y verlo de lado. ¿A qué se parecería? De lado, el cilindro pareciera tener una cara rectangular. Esto parece una suerte de ilusión óptica, pero aun así debemos dibujar el cilindro del modo en que lo veríamos. Aun cuando el lado se junta con la base en la curva del círculo, podríamos dibujar un rectángulo. Sin embargo, mostremos las partes superior e inferior del lado rectangular con líneas punteadas de forma que sepamos que, de hecho, ahí no hay un borde recto.

Ahora podemos añadir la cara superior. Recuerda que, en un cilindro, la cara superior e inferior son exactamente las mismas. Imagina que pudieras tomar la base, moverla arriba del rectángulo y volverla a dibujar. Esto nos da la cara superior. Ya que las caras son redondas, no hay vértices que conecten las caras superior e inferior, por lo que hemos terminado. Hemos dibujado un cilindro similar a este.

Repaso en Video

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*Solo en Inglés

Práctica

Instrucciones: Responde las siguientes preguntas sobre cada uno de estos sólidos.

1. ¿Cuál es el nombre de esta figura?
2. ¿Cuántas caras tiene?
3. ¿Cuántos vértices tiene?
4. ¿Cuántas aristas tiene?

5. ¿Cuál es el nombre de esta figura?
6. ¿Cuántas caras tiene?
7. ¿Cuántas aristas tiene?
8. ¿Cuántos vértices tiene?

9. ¿Cuál es el nombre de esta figura?
10. ¿Cuántas caras, aristas y vértices tiene?

11. ¿Cuál es el nombre de esta figura?
12. ¿Cuántas caras tiene?
13. ¿Cuántas aristas tiene?
14. ¿Cuántos vértices tiene?
15. Una figura tiene una cara circular y no tiene aristas ni vértices. ¿Qué clase de figura es?
16. Una figura tiene un par de lados paralelos que son circulares. ¿Qué clase de figura es?
17. Dibuja un cono.
18. Dibuja un prisma pentagonal.