Área de Superficie de los Prismas

En esta sección, encontrarás el área de superficie de los prismas.

¿Alguna vez le has dado un regalo a alguien a modo de agradecimiento? Analicemos este problema.

Samuels, el auxiliar, ha estado trabajando tiempo extra para preparar las Olimpiadas de la Escuela Media Montgomery. Para ayudar a los estudiantes, ha estado creando campos de salto largo, trayendo toneladas de área y ofreciéndose a ayudar después de la escuela y los fines de semana.

“Creo que deberíamos hacer algo lindo para el Sr. Samuels”, dijo Crystal al almuerzo.

“Tienes razón. Pero ¿qué deberíamos hacer?” respondió Kenneth responded.

“¿Qué tal si le damos uno de nuestros “premios prisma”? Podría envolvérselo y dárselo de regalo en las Olimpiadas”, sugirió Crystal.

Kenneth, Marcy y Dylan estuvieron de acuerdo. Esa semana, Crystal encontró una caja para el premio prisma y empezó a envolverlo. Debido al tamaño del premio, necesitaba una caja de buen tamaño.

¿Cuánto papel de regalo necesitará?

El área de superficie es el tema de esta Sección y el problema del papel de regalo de Crystal exige conocer este tema. Al final de esta Sección, sabrás cuanto papel de regalo necesitará para cubrir esta caja.

Orientación

Una figura tridimensional o solida tiene largo, ancho y profundidad.

Esta Sección se enfoca en los prismas y en el área de superficie.

¿Qué es un prisma?

Un prisma es una figura tridimensional con dos polígonos paralelos congruentes como bases. Las caras laterales de un prisma tienen forma rectangular.

Una de las cosas que podemos medir al trabajar con figuras tridimensionales es el área de superficie . El área de superficie es el total de las áreas de cada cara en un sólido. Imagina que pudieras envolver como regalo una de las figuras anteriores.

La cantidad de papel de regalo necesaria para cubrir la figura representa su área de superficie. Para hallar el área de superficie, debemos poder calcular el área de cada cara y luego sumar esas áreas.

Hay varias formas de calcular el área de superficie.

Una de ellas es usar una red .

Una red es un diagrama bidimensional de una figura tridimensional. Imagina que pudieras desdoblar una caja de modo que quede completamente plana. Tendrías algo como esto.

Si dobláramos esto, verías que se formaría un cubo. Un cubo esta hecho de caras que son cuadrados. Si quisiéramos obtener el área de superficie o la medida de la cubierta exterior de este cubo, entonces podríamos encontrar el área de cada superficie del cubo y luego sumar los productos.

También podríamos ver la red de un prisma rectangular.

Un prisma rectangular esta hecho de rectángulos. Para hallar el área de superficie de un prisma, deberemos calcular el área de cada cara y luego sumarlas.

Empecemos calculando el área de un prisma rectangular.

Ahora que tenemos toda la información que necesitamos, podemos calcular el área de cada cara y luego sumar sus áreas.

$& \mathbf{bottom \ face} && \mathbf{top \ face} && \mathbf{long \ side} && \mathbf{long \ side} && \mathbf{short \ side} && \mathbf{short \ side}\\\& A=lw && A=lw && A=lh && A=lh && A=wh && A=wh\\\& 12 \times 7 \quad + && 12 \times 7 \quad + && 12 \times 3 \quad + && 12 \times 3 \quad + && 7 \times 3 \quad + && 7 \times 3\\\& 84 \qquad \ \ + && 84 \qquad \ \ + && 36 \qquad \ \ + && 36 \qquad \ \ + && 21 \qquad \ + && 21 \qquad \ \ = \ 282 \ in.^2$

Encontramos el área de cada cara rectangular y, luego, las sumamos todas. El área de superficie total del prisma rectangular es 282 pulgadas cuadradas. El usar una red nos ayudó a localizar todas las caras y a hallar las medidas de cada lado.

Las redes nos permiten ver cada cara para que podemos calcular sus áreas y luego sumarlas. Sin embargo, también podemos usar una fórmula para representar las caras a medida que encontramos su área. La fórmula nos da un buen atajo que podemos usar en cualquier clase de prisma, sin importar la forma de su base. Observa la siguiente fórmula.

$SA=Ph+2B$

Veamos la primera parte de la fórmula. $P$ representa el perímetro de la base y $h$ representa la altura del prisma. Al multiplicar perímetro y altura, estamos buscando el área de todas las caras laterales de una sola vez. Esto será muy útil si el prisma con el que trabajamos no es solo un cubo o un prisma rectangular.

La segunda parte de la fórmula representa el área de las caras superior e inferior. $B$ representa el área de una base, la cual hallaremos usando la fórmula de área apropiada para la forma de la base. Luego, la multiplicamos por dos para mostrar de una vez el área de las caras superior e inferior. Intentemos ponerla a prueba para ver cómo funciona.

Encuentra el área de superficie de esta figura usando una fórmula.

Tenemos todas las medidas que necesitamos. Busquemos primero el perímetro de la base. Es un rectángulo, por lo que sumamos largos y anchos: $21 + 21 + 14 + 14 = 70$ . Podemos introducir este número en la $P$ de la fórmula. La altura, como puedes ver, es de 5 centímetros.

Ahora despejemos $B$ , el área de la base. La base de este prisma es un rectángulo, por lo que usamos la fórmula $A = lw$ para encontrar su área.

$B &= lw\\\B &=21 \times 14\\\B &=294 \ cm^2$

Ahora tenemos toda la información que necesitamos para rellenar la fórmula. Introduzcamos los datos y despejemos $SA$ , el área de superficie.

$SA &=Ph + 2B\\\SA &= 70 (5) + 2 (294)\\\SA &= 350 + 588\\\SA &= 938 \ cm^2$

Este prisma rectangular tiene un área de superficie de 938 centímetros cuadrados.

Escribe en tu cuaderno esta fórmula para encontrar el área de superficie de un prisma.

Responde cada pregunta.

Ejemplo A

Verdadero o Falso. El área de superficie incluye el interior de un prisma.

Solución: Falso. El área de superficie es la medida de la cubierta externa de un prisma.

Ejemplo B

Verdadero o Falso. Una red muestra las tres dimensiones de un prisma.

Solución: Verdadero.

Ejemplo C

Verdadero o Falso. Puedes saber que una figura es un prisma cuando sus lados son rectángulos.

Solución: Verdadero

Ahora volvamos al problema al principio de la Sección.

Primero que todo, ¿qué tipo de solido es? Todas las caras son rectángulos, incluyendo la base, por lo que es un prisma rectangular. La imagen nos muestra claramente cuales son su largo, ancho y altura, por lo que vamos a usar la fórmula para hallar el área de superficie de los prismas.

¿Cuál es el perímetro de la base?

$12 + 12 + 9 + 9 = 42 \ inches$ .

Introduciremos estos datos en la $P$ .

También debemos encontrar el área de la base, $B$ . Esta base es rectangular, por lo que usaremos la fórmula $B = lw$ .

$B &=lw \\\B &=12 (9)\\\B &=108 \ in.^2$

Ahora tenemos todas las medidas necesarias para introducir las variables apropiadas a la fórmula.

$SA &=Ph + 2B\\\SA &=42(6)+2(108)\\\SA &=252 + 216\\\SA &=468 \ in.^2$

Crystal necesitará 468 pulgadas cuadradas de papel de regalo para poder envolver el regalo.

Vocabulario

Figuras Tridimensionales: Sólidos que tienen largo, ancho y altura.

Prismas: Figuras tridimensionales con polígonos paralelos congruentes como bases y caras laterales rectangulares.

Área de Superficie: Medida de la cubierta exterior de un sólido.

Red: Patrón de un sólido – cómo se vería un sólido si lo dibujáramos como un patrón.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que intentes resolverlo.

¿Cuál es el área de superficie de la siguiente figura?

Solución

Primero, analicemos la base para hallar su perímetro. El triángulo tiene dos lados de 5 pulgadas y un lado que tiene 8 pulgadas: $5 + 5 + 8 = 18 \ inches$ . En la fórmula, esto se representará con $P$ . La altura del prisma es de 15 pulgadas. ¡Ten cuidado de no confundir la altura del prisma con la altura de la base triangular!

Para encontrar $B$ , debemos usar la fórmula del área para los triángulos: $A =\frac{1}{2} bh$ . La base del triángulo es 8 pulgadas y la altura es 3 pulgadas.

$A &=\frac{1}{2} bh\\\A &= \frac{1}{2} (8) (3)\\\A &= 4 (3)\\\A &= 12 \ in.^2$

El área de la base triangular es de 12 pulgadas cuadradas, por lo que introduciremos esto en la $B$ de la fórmula. Introduzcamos todos los valores y resolvamos.

$SA &= Ph + 2B\\\SA &= 18 (15) + 2 (12)\\\SA &= 270 + 24\\\SA &= 294 \ in.^2$

El área de superficie de este prisma triangular es de 294 pulgadas cuadradas.

Repaso en Video

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*Solo en Inglés

Surface Area of a Box

Práctica

Instrucciones: Observa cada figura y responde las siguientes preguntas.

¿Cuál es el nombre de la figura dibujada?
¿Cuál es el área de superficie de esta figura?
¿Cuál es la forma de su base?
¿Cuál es la altura de esta figura?
¿Cuál es el área de la base de la figura?

¿Cuál es el nombre de esta figura?
¿Cuál es el área de superficie de esta figura?
¿Cuál es la forma de su base?
¿Cuál es la altura de esta figura?
¿Cuál es el área de la base de la figura?

¿Cuál es el nombre de esta figura?
¿Cuál es la forma de su base?
¿Cuántas bases tiene esta figura?
¿Cuántas caras hay en la figura?
¿Cuál es el área de superficie de esta figura?

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