Área de Superficie de los Cilindros

Aquí verás cómo encontrar el área de superficie de los cilindros.

¿Alguna vez has intentado envolver un cilindro? Analicemos este problema.

La Srta. Johnson está envolviendo un paquete cilíndrico en papel marrón para enviárselo por correo a su hijo. El paquete tiene 22 centímetros de alto y 11 centímetros de ancho. ¿Cuánto papel necesitará para envolver el paquete?

Aprenderás a resolver problemas como este en esta Sección.

Orientación

Una figura sólida o tridimensional tiene largo, ancho y profundidad. No es tan simple como una figura plana bidimensional.

¿Qué es un cilindro?

Un cilindro tiene dos bases circulares paralelas y congruentes con un rectángulo curvo a los lados.

Una de las cosas que podemos medir al trabajar con figuras tridimensionales es el área de superficie . El área de superficie es el total de las áreas de cada cara en un sólido. Imagina que pudieras envolver como regalo una de las figuras anteriores.

La cantidad de papel de regalo necesaria para cubrir la figura representa su área de superficie. Para hallar el área de superficie, debemos poder calcular el área de cada cara y luego sumar esas áreas.

Hay varias formas de calcular el área de superficie.

Una de ellas es usar una red .

Una red es un diagrama bidimensional de una figura tridimensional. Imagina que pudieras desdoblar una caja de modo que quede completamente plana. Tendrías algo como esto.

También podemos analizar la red de un cilindro.

Con la red de un cilindro, podríamos calcular el área de cada círculo y el área del lado curvo del cilindro. Entonces, podríamos sumar esos valores para hallar el área de superficie.

¿Cómo podemos hallar el área de superficie de un cilindro?

Para hallar el área de superficie, debemos calcular el área de cada círculo de la red. Usamos la fórmula $A =\pi r^2$ para encontrar el área de un círculo. Si conocemos el radio o diámetro de cada círculo, podremos calcular su área. Observa atentamente el cilindro anterior. Las dos caras circulares son congruentes, por lo que deben tener el mismo radio y diámetro. Calculemos el área de cada cara.

$& \mathbf{bottom \ face} && \mathbf{top \ face}\\\& A=\pi {r^2} && A=\pi {r^2}\\\& A=\pi {(4^2)} && A=\pi {(4^2)}\\\& A=16 \pi && A=16 \pi \\\& A=50.24 \ cm^2 && A=50.24 \ cm^2$

El área de cada cara circular es de 50,24 centímetros cuadrados, si usamos 3,14 para aproximar pi.

Ahora debemos encontrar el área de los lados. La red nos muestra que, cuando “desenrollamos” el cilindro, el lado es, de hecho, un rectángulo. Recuerda que la fórmula que usamos para encontrar el área de un rectángulo es $A = lw$ . En el caso de los cilindros, el ancho del rectángulo es igual a la altura del cilindro. En este caso, la altura del cilindro es 8 centímetros.

¿Qué hay del largo? El largo, de hecho, es igual al perímetro del círculo, al cual llamamos circunferencia. Cuando “enrollamos” el lado, calza perfectamente con todo el borde del círculo. Para encontrar el área de los lados del cilindro, multiplicamos la circunferencia del círculo con la altura del cilindro. Encontramos la circunferencia de un círculo con la fórmula $C = 2 \pi r$ , y multiplicando el resultado con la altura. Pongamos esto a prueba.

$C &=2 \pi r\\\C &=2 \pi 4\\\C &=8 \pi\\\C &=25.12 \times 8 = 200.96 \ cm^2$

Ahora conocemos el área de las dos caras circulares y los lados del cilindro. Sumémoslas para encontrar el área de superficie del cilindro.

$& \mathbf{bottom \ face} && \mathbf{top \ face} && \mathbf{side} && \mathbf{surface \ area}\\\& 50.24 \ cm^2 \qquad + && 50.24 \ cm^2 \quad \ + && 200.96 \ cm^2 \quad =&& 301.44 \ cm^2$

El área de superficie total del cilindro es 301,44 centímetros cuadrados. Usar una red nos ha ayudado a encontrar las caras y a hallar las medidas de los lados.

¿Sabías que puedes usar una fórmula para hallar el área de superficie de un cilindro?

También podemos usar la fórmula, $Ph + 2B$ , para encontrar el área de superficie de los cilindros. Como sabemos, las caras superior e inferior de un cilindro son círculos. El perímetro de un círculo es su radio. Podemos encontrar la circunferencia usando la fórmula $2 \pi r$ . Luego, multiplicamos el resultado con la altura del cilindro.

Para encontrar el área de la base, $B$ , usamos la fórmula del área para los círculos: $\pi{r^2}$ . Igualmente, tenemos que multiplicarlo por 2 porque hay una cara superior y una inferior. Esto nos da la fórmula

$& SA =2 \pi {r^2} + 2 \pi rh\\\& \qquad \ \ (2B) \quad \ (Ph)$

Esta fórmula parece larga e intimidante, pero todo lo que debemos hacer es ingresar los valores de los radios de las caras circulares y de la altura del cilindro y resolver la fórmula.

Escribe en tu cuaderno esta fórmula y la frase que explica cómo utilizarla.

Ahora apliquemos esta información.

¿Cuál es el área de superficie de la siguiente figura? Usa 3,14 para aproximar pi.

Tenemos todas las medidas que necesitamos. Introduzcámoslas en la fórmula y despejemos el área de superficie, $SA$ .

$SA &=2 \pi {r^2} + 2 \pi rh\\\SA &= 2 \pi (3.5^2) + 2 \pi (3.5) (28)\\\SA &= 2 \pi (12.25) + 2 \pi (98)\\\SA &= 24.5 \pi + 196 \pi \\\SA &= 220.5 \pi \\\SA &= 692.37 \ {cm^2}$

Este cilindro tiene un área de superficie de 692,37 centímetros cuadrados.

¿Ves? ¡No fue tanto trabajo! Solo tuvimos que colocar con cuidado cada medida en su lugar correcto de la fórmula y desarrollarla paso a paso.

A veces, tenemos un cilindro cortado a la mitad. Lo llamamos un cilindro truncado . es cuando solo ves una sección del cilindro y necesitas determinar el área de superficie de lo que puedes ver.

Ahora, digamos que se dibuja la mitad del cilindro. Sabemos que el radio del círculo no cambiará, por lo que podemos usar esa medida. La altura del cilindro camba, ya que ha sido cortada a la mitad. Por tanto, podemos calcular el área de superficie usando las medidas dadas y la misma fórmula. No tenemos que hacer nada fuera de lo común, pues estamos buscando las medidas de lo que vemos, el área de superficie de la mitad del cilindro.

$SA &=2 \pi {r^2} + 2 \pi rh\\\SA &= 2 \pi (2^2) + 2 \pi (2) (4)\\\SA &= 2 \pi (4) + 2 \pi (8)\\\SA &=8 \pi + 16 \pi\\\ SA &=75.36 \ {cm^2}$

También podemos encontrar el área de superficie del cilindro completo cambiando la altura de 4 cm a 8 cm. Luego, podemos usar las mismas medidas del radio y calcular el área de superficie del cilindro.

Encuentra el área de superficie de cada cilindro.

Ejemplo A

Un cilindro con radio de 6 pulgadas y una altura de 5 pulgadas.

Solución: $414.48$ pulgadas cuadradas

Ejemplo B

Un cilindro con radio de 4 cm y una altura de 12 cm.

Solución: $401.92$ centímetros cuadrados

Ejemplo C

Un cilindro con un diámetro de 10 metros y una altura de 15 metros.

Solución: $1099$ metros cuadrados

Ahora volvamos al problema al principio de la Sección.

La imagen nos muestra claramente la altura y el diámetro del cilindro, por lo que hay que usar la fórmula para encontrar el área de superficie, pero ten cuidado; nos dieron el diámetro, no el radio. Debemos dividirlo por 2 para encontrar el radio: $11 \div 2 = 5.5$ . Ahora tenemos el radio y la altura, por lo que podemos ingresar las variables apropiadas a la fórmula.

$SA &= 2 \pi r^2 + 2 \pi rh\\\SA &= 2 \pi (5.5^2) +2 \pi (5.5)(22)\\\SA &= 2 \pi (30.25) + 2 \pi (121)\\\SA &= 60.5 \pi + 242 \pi \\\SA &= 302.5 \pi\\\SA &= 949.85 \ cm^2$

La Srta. Johnson necesitará 949,85 centímetros cuadrados de papel marrón para poder envolver el paquete completo.

Vocabulario

Figuras Tridimensionales: Sólidos que tienen largo, ancho y altura.

Prismas: Figuras tridimensionales con polígonos paralelos congruentes como bases y caras laterales rectangulares.

Cilindros: Figuras tridimensionales con bases circulares paralelas y congruentes. Sus lados están compuestos de un rectángulo curvo.

Área de Superficie: Medida de la cubierta exterior de un sólido.

Red: Patrón de un sólido – cómo se vería un sólido si lo dibujáramos como un patrón.

TCilindro Truncado: Cilindro cortado de una parte de un cilindro completo.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que intentes resolverlo.

¿Cuál es el área de superficie de la siguiente figura?

Solución

Mira atentamente el cilindro. Esta vez nos dieron el diámetro, no el radio. Recuerda, el diámetro de un círculo siempre es el doble del largo del radio. Podemos dividir el largo del diámetro por 2 para encontrar el radio: $13 \div 2 = 6.5$ . Ahora tenemos el radio y la altura, por lo que hay que ingresar estos números a la fórmula y resolverla.

$SA &= 2 \pi r^2 + 2 \pi rh\\\SA &= 2 \pi (6.5^2) + 2 \pi (6.5) (11)\\\SA &= 2 \pi (42.25) + 2 \pi (71.5)\\\SA &= 84.6 \pi + 143 \pi\\\ SA &= 227.6 \pi\\\ SA &= 714.66 \ {ft^2}$

Este cilindro tiene un área de superficie de 714,66 pies cuadrados, si aproximamos pi como 3,14.

Repaso en Video

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*Solo en Inglés

Khan Academy and Surface Area

Práctica

¿Cuál es el nombre de esta figura?
¿Cuál es la forma de la base de la figura?
¿Cuántas bases tiene la figura?
¿Cuál es el área de superficie de la figura?
¿Qué medida debe obtenerse, el radio o el diámetro?

¿Cuál es el nombre de esta figura?
¿Qué medida entrega el ejercicio: el radio o el diámetro?
¿Cuál es el área de superficie de la figura?

Instrucciones: Usa lo que has aprendido para responder las preguntas. En las preguntas 11-15, justifica las falsas.

9. Un tanque de agua cilíndrico tiene 35 pies de largo y 10 pies de ancho. ¿Cuánto metal de cobertura tiene el tanque?
10. ¿Qué usaste para resolver el problema: área o área de superficie?
11. Verdadero o Falso. Sólo puedes encontrar el área de superficie si conoces el volumen de la figura.
12. Verdadero o Falso. El área de superficie y el volumen miden el mismo concepto.
13. Verdadero o Falso. El área de superficie mide el exterior de un cilindro.
14. Verdadero o Falso. Necesitas el radio para hallar el área de superficie de un cilindro.
15. Verdadero o Falso. El radio es la mitad del diámetro.

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