Área de Superficie de las Pirámides

En esta sección, hallarás el área de superficie de las pirámides.

¿Alguna vez has intentado calcular el área de superficie de una pirámide? Analicemos este problema.

Encuentra el área de superficie de la siguiente figura.

Aprenderás a resolver este problema en esta Sección.

Orientación

Una pirámide tiene lados que son caras triangulares y una base que puede tener cualquier forma.

El área de superficie es el área total de cada una de las caras de un sólido.

Imagina que pudieras envolver una pirámide en papel de regalo. La cantidad de papel necesario para cubrir la figura representa su área de superficie. Para encontrar el área de superficie, debemos calcular el área de cada cara y luego sumar esas áreas.

Veremos formas diferentes de calcular el área de superficie.

Una forma es usando una red .

Una red es un diagrama bidimensional de una figura tridimensional.

Imagina que pudieras desdoblar una pirámide de modo que quede totalmente plana.

Así es cómo se vería la red de una pirámide.

Esta red es la de una pirámide cuadrada. Puedes imaginar que doblas los lados, lo cual crea una pirámide. Con una red, podemos ver con más claridad cada cara de la pirámide.

Para encontrar el área de superficie, debemos calcular el área de cada cara en la red: los lados y la base. Las caras laterales de una pirámide siempre son triángulos, por lo que usamos la fórmula del área para triángulos para calcular su área: $A = \frac{1}{2} bh$ . En los triángulos, necesitamos la altura o, en el caso de una pirámide, la altura de inclinación.

El área de la base depende de su forma. Recuerda que las pirámides pueden tener bases en forma de triángulo, cuadrado, rectángulo o cualquier otro polígono. Hay que usar la fórmula de área que sea apropiada para la forma de la base.

Aquí hay algunas fórmulas comunes de área:

Rectángulo: $A = lw$

Cuadrado: $A = s^2$

Triángulo: $A = \frac{1}{2} bh$

En la red de la pirámide anterior, podemos ver que es una pirámide cuadrada. Imagina que tiene una altura de inclinación de 4 cm y una longitud lateral de 6 cm. Podemos usar esas medidas para hallar el área de cada cara en la pirámide.

La base tiene una longitud lateral de 6 cm, por lo que usaremos la fórmula para hallar el área de una base.

$A&= s^2\\\ A&=6^2\\\A&=36 \ sq.cm$

El área de la base de la pirámide es de 36 centímetros cuadrados.

Luego, debemos encontrar el área de cada lado triangular. Para encontrar el área de un lado, usamos la fórmula para encontrar el área de un triángulo.

$A&=\frac{1}{2} bh\\\A&=\frac{1}{2}(6)(4)\\\ A&=12 \ sq.cm$

Esta es el área de un triángulo. Tenemos cuatro triángulos en total, por lo que multiplicaremos este valor por 4.

$12 \times 4 = 48 \ sq. cm$

Luego, sumamos todas las áreas.

$48 + 36 = 84 \ sq. cm$

El área de superficie de esta pirámide cuadrada es 84 centímetros cuadrados.

Las redes nos permiten ver cada cara de una pirámide, de modo que podamos calcular su área. Sin embargo, también podemos usar una fórmula que represente las caras a medida que encontramos su área. La fórmula es como un atajo, porque podemos introducir las medidas en las variables apropiadas de la fórmula y luego despejar $SA$ , el área de superficie. Empecemos con las pirámides.

Esta es la fórmula para encontrar el área de superficie de una pirámide.

$SA = \frac{1}{2} \ \text{perimeter} \times \text{slant height} + B$

Ahora veamos cómo podemos entender esta fórmula.

La primera parte de la fórmula, $\frac{1}{2} \ \text{perimeter} \times \text{slant height}$ , es un método rápido para encontrar, de una sola vez, el área de todos los lados triangulares de la pirámide. Recuerda que la fórmula del área de un triángulo es $A = \frac{1}{2} bh$ . En la fórmula, $b$ representa la base. El perímetro de la cara inferior de la pirámide representa todas las bases de las caras triangulares, ya que es la suma de todas estas. La altura de cada triángulo siempre es la misma, por lo que podemos llamarla la altura de inclinación de la pirámide. Por tanto “ $\frac{1}{2} \ \text{perimeter} \times \text{slant height}$ ” es lo mismo que decir $\frac{1}{2} bh$ .

La $B$ de la fórmula representa el área de la base. Recuerda que las pirámides pueden tener bases con distintas formas, por lo que la fórmula del área que usemos para encontrar $B$ varía. Primero, encontraremos el área de la base y luego introduciremos esa cifra en la $B$ de la fórmula.

A veces, debes hallar una medida lineal. Esto significa que te darán el área de superficie y otra dimensión aparte. Por tanto, deberás hacer tus cálculos “a la inversa” para calcular la medida de la dimensión faltante. Esto parece algo difícil, pero si piensas que es un puzle, podrás hacer el ejercicio con facilidad.

La base de una pirámide cuadrada tiene lados de 4 cm cada uno y un área de superficie de $96 \ cm^2$ . ¿Cuál es la altura de inclinación de la pirámide?

Esta vez, conocemos el área de superficie, pero necesitamos encontrar la altura de inclinación. Primero, encontremos el perímetro y el valor de $B$ , de modo que podamos introducirlos en la fórmula. La base es un cuadrado con lados de 4 centímetros, por lo que el perímetro debe ser $4 \times 4 = 16 \ cm$ . Ahora usaremos la fórmula del área del cuadrado para encontrar $B$ .

$B &= s^2\\\ B &= 4^2\\\B &= 16 \ cm^2$

$B$ tiene 16 centímetros cuadrados. Introduzcamos estos valores en las variables apropiadas de la fórmula y despejemos la $s$ , la altura de inclinación.

$SA &= \frac{1}{2} \ \text{perimeter} \times \text{slant height} + B \\\96 &= \frac{1}{6} (16)s + 16\\\96 &= 8s + 16\\\96 - 16 &= 8s\\\80 &= 8s\\\80 \div 8 &= s\\\10 \ cm &= s$

Una pirámide cuadrada con una base de 4 centímetros en cada lado y un área de superficie de 96 centímetros cuadrados debe tener una altura de inclinación de 10 centímetros.

Escribe en tu cuaderno estas fórmulas para encontrar el área de superficie de una pirámide. Asegúrate de escribir que necesitas hallar el área de la base $(B)$ antes de ingresar los valores en la fórmula del área de superficie.

Encuentra el área de superficie de cada pirámide.

Ejemplo A

Una pirámide cuadrada con lado de 8 pulg. y altura de inclinación de 9 pulg.

Solución: $208 \ in^2$

Ejemplo B

Una pirámide rectangular con largo de 6 pulg, ancho de 4 pulg. Y una altura de inclinación de 3 pulg.

Solución: $54 \ in^2$

Ejemplo C

Una pirámide cuadrada con lado de 6 cm y una altura de inclinación de 5 cm

Solución: $96 \ cm^2$

Ahora volvamos al problema al principio de la Sección.

Primero que nada, ¿qué clase de pirámide es esta? Es una pirámide triangular porque su base es un triángulo. Eso significa que debemos usar la fórmula del área para triángulos para poder encontrar la $B$ . Los lados de la base son todos del mismo largo, por lo que podemos calcular el perímetro multiplicando $16 \times 3 = 48$ . Ahora, busquemos $B$

$B &= \frac{1}{2} bh\\\B &= \frac{1}{2} (16) (13.86)\\\B &= 8 (13.86)\\\B &= 110.88 \ cm^2$

Ahora estamos listos para introducir toda la información a la fórmula. Veamos qué pasa.

$SA &= \frac{1}{2} \ \text{perimeter} \times \text{slant height} + B\\\SA &= \left[\frac{1}{2} (48) \times 13.86 \right] + 110.88\\\SA &= (24 \times 13.86) + 110.88\\\SA &= 332.64 + 110.88\\\SA &= 443.52 \ cm^2$

El área de superficie de esta pirámide triangular es de 443,52 centímetros cuadrados.

Vocabulario

Pirámide: Figura sólida tridimensional que tiene como base un polígono cualquiera y todas sus caras laterales son triángulos que se juntan en un solo vértice.

Área de Superficie: Medida de la cubierta externa de un sólido.

Red: Diagrama que representa como se vería un sólido en dos dimensiones, aplanado como un patrón.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que intentes resolverlo.

¿Cuál es el área de superficie de la pirámide siguiente?

Solución

Esta es una pirámide cuadrada. Los cuatro lados de la base tienen 8 pulgadas cada uno, por lo que el perímetro de la base es $8 \times 4 = 32 \ inches$ . También sabemos que necesitamos usar la fórmula del área de los cuadrados para encontrar la $B$ , el área del base.

$B&=s^2\\\B &= s^2\\\B &= 8^2\\\B &= 64 \ in^2.$

Ahora que tenemos el área de la base, tenemos toda la información que necesitamos. Introducimos los datos en la fórmula y despejamos $SA$ , el área de superficie.

$SA &= \frac{1}{2} \ \text{perimeter} \times \text{slant height} + B\\\ SA &= \left[\frac{1}{2}(32) \times 13.6\right] + 64\\\SA &= (16 \times 13.6) + 64\\\SA &= 217.6 + 64\\\SA &= 281.6 \ in^2.$

El área de superficie de la pirámide es 281,6 pulgadas cuadradas.

Repaso en Video

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*Solo en Inglés

Práctica

¿Cuál es el nombre de la figura representada en esta red?
¿Cuál es el largo de cada uno de los lados de la base?
¿Cuál es el área de superficie de la figura?

¿Cuál es el nombre de la figura?
¿Cuál es la forma de la base?
¿Cuántas caras tiene esta figura?
¿Cuál es el área de superficie de la figura?

¿Cuál es el nombre de la figura representada en esta red?
¿Cuál es el largo de cada uno de los lados de la base?
¿Cuál es el área de superficie de la figura?

¿Cuál es el nombre de la figura representada en esta red?
¿Cuál es el largo de cada uno de los lados de la base?
¿Cuál es el área de superficie de la figura?

Verdadero o Falso. La B de la fórmula para el área de superficie de una pirámide representa la base.
Verdadero o Falso. Debes conocer la altura de inclinación para calcular el perímetro de una pirámide.

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