Área de Superficie de los Conos

En esta sección, calcularás el área de superficie de los conos y los conos truncados.

¿Alguna vez has medido una plataforma redonda? Analicemos este problema.

Los estudiantes pidieron a una compañía que hiciera una plataforma de premios para las Olimpiadas. Esta plataforma iría encima del área con cemento que los estudiantes ya hicieron y sería el lugar donde el (la) ganador (a) del primer lugar de cada evento se pararía para recibir su premio.

“Esto no es un trapezoide, no se parece al área que hicimos”, comentó José cuando la plataforma llegó a la escuela.

“Lo sé. Ellos no tenían trapezoides, así que conseguimos esto”, explicó Carmen.

“Creo que igual servirá. Además, podemos pintarla”, dice José.

“¿Cuanta pintura necesitaremos?”, preguntó Carmen.

“Ni idea” dijo José rascándose la cabeza.

Esta figura es una clase diferente de cono, llamada cono truncado. Se puede determinar el área de superficie de una figura como esta, pero se necesita una fórmula especial. Veremos cuál es esta fórmula a medida que avancemos en esta Sección. Tendrás la oportunidad de usarla al final de la Sección.

Orientación

Los conos son figuras tridimensionales que tienen una base y una punta en la cima. Sin embargo, los conos siempre tienen una base circular.

Podemos calcular el área de superficie de un cono. ¿Recuerdas cuál es la definición del área de superficie? Veamos.

El Área de Superficie es el área total de las áreas de cada una de las caras en un sólido.

Imagina que pudieras envolver una pirámide o un cono en papel de regalo. La cantidad de papel de regalo necesaria para envolver la figura representa su área de superficie. Para encontrar el área de superficie, debemos calcular el área de cada cara y luego sumar esas áreas.

Veremos formas diferentes de calcular el área de superficie. Una forma es usando una red .

Una red es un diagrama bidimensional de una figura tridimensional.

Los conos tienen redes diferentes. Imagina que pudieras desenrollar un cono.

Así es cómo se vería la red de un cono.

El círculo sombreado es la base. Recuerda que los conos siempre tienen bases circulares. La porción no sombreada del cono representa el lado. Técnicamente, no le llamamos una cara, porque tiene un borde redondeado.

Para encontrar el área de superficie de un cono, debemos calcular el área de la base circular y el lado y sumar ambas cifras. La fórmula para encontrar el área de un círculo es $A = \pi r^2$ , donde $r$ es el radio del círculo. Podemos usar esta fórmula para encontrar el área de la base circular.

El lado del cono es, de hecho, una parte de un círculo, llamado un sector. El tamaño del sector está determinado por la razón entre la altura de inclinación del cono y su radio, o $\frac{s}{r}$ .

Para encontrar el área del lado del cono, multiplicamos el radio, la altura de inclinación y pi.

$A=rs \pi$

Ahora, apliquemos esta información.

Encuentra el área de superficie del siguiente cono.

Ahora que tenemos las medidas de los lados del cono, calculemos el área de cada uno. Recuerda usar la fórmula de área correcta.

$& \mathbf{Bottom \ face \ (circle)} && \mathbf{Side}\\\& A = \pi r^2 && A = \pi rs\\\& \pi (5^2) && \pi (5) (11.7)\\\& 25 \pi && \pi (58.5)\\\& 78.5 && 58.5 \pi$

Conocemos el área de cada lado del cono, cuando aproximamos pi como 3,14. Ahora podemos sumar estas cifras para encontrar el área de superficie del cono completo.

$&\text{bottom face} \qquad \qquad \text{side} \qquad \qquad \text{surface area}\\\& \quad 78.5 \qquad \quad \ + \quad \ 183.69 \quad = \quad \ 262.19 \ in^2.$

Usamos la fórmula $A = \pi r^2$ para encontrar el área de la base circular. Luego, encontramos el área del lado multiplicando por $\pi rs$ .

Cuando sumamos estas cifras, obtuvimos un área de superficie de 262,19 pulgadas cuadradas en este cono.

Esta es la fórmula para encontrar el área de superficie de un cono.

$SA = \pi r^2 + \pi rs$

La primera parte de la fórmula, $\pi r^2$ , simplemente es la fórmula del área para círculos. Esto representa el área de la base. Como podemos ver, la segunda parte de la fórmula representa el área del lado del cono. Simplemente, juntamos las piezas y resolvemos para obtener el área de ambas partes al mismo tiempo.

Escribe esta fórmula en tu cuaderno.

Ahora, veamos cómo podemos encontrar el área de superficie de la parte de un cono.

Primero, pensemos cómo se vería un cono truncado . Un cono truncado es una figura donde la punta del cono fue cortada, dejando dos bases circulares y una cara lateral.

Así es cómo se vería una de esas figuras.

Nótese que en un cono truncado tendremos dos bases circulares diferentes- una base superior y una inferior. Debemos encontrar el área de ambas mases además del área del sector para encontrar el área de superficie.

La fórmula para encontrar el área de superficie de un cono truncado es:

$SA= \pi [s(R+r)+ R^2+r^2]$

Nótese que la “s minúscula” representa la altura de inclinación, la “ $R$ mayúscula” representa el radio mayor y que la “ $r$ minúscula” representa el radio menor.

¿Cuál es el área de superficie de un cono truncado con una altura de inclinación de 6 cm, un radio de 8 cm y otro radio de 6 cm?

Para encontrar el área de superficie de esta figura, introducimos las dimensiones en la fórmula y resolvemos.

$SA &= \pi[6(8+6)+8^2+6^2]\\\SA &= \pi[84+64+36]\\\SA &= 3.14(184)\\\SA &= 577.76 \ cm^2$

Encuentra el área de superficie de cada cono.

Ejemplo A

Un cono con un radio de 4 pulgadas y una altura de inclinación de 6 pulgadas.

Solución: $125.6$ pulgadas cuadradas

Ejemplo B

Un cono con un radio de 5 pies y una altura de inclinación de 8 pies.

Solución: $204.1$ pies cuadradas

Ejemplo C

Un cono con un radio de 3 pulgadas y una altura de inclinación de 4.5 pulgadas.

Solución: $70.65$ pulgadas cuadradas

Ahora volvamos al problema al principio de la Sección.

Podemos usar la siguiente fórmula para encontrar el área de superficie de un cono truncado.

$\pi [s(R+r)+ R^2+r^2]$

Ahora podemos tomar la información entregada y sustituirla en la fórmula.

$& 3.14[3(3 + 2) + 3^2 + 2^2]\\\& 3.14 [3(5) + 9 + 4]\\\& 3.14 [28]\\\& SA = 87.92 \ ft^2$

Vocabulario

Cono: Solido tridimensional con una base circular y, como lado, un sector que se junta en un solo vértice.

Área de Superficie: Medida de la cubierta exterior de un sólido.

Red: Diagrama que representa cómo se vería un sólido en dos dimensiones, aplanado como un patrón.

Sector: Pieza de un círculo.

Cono Truncado: Cono dividido por un plano, de modo que la punta es removida del cono, dejando solo la sección inferior.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que intentes resolverlo.

Trey está decorando unos gorros cónicos para su fiesta, envolviéndolos con papel tisú de colores. Cada gorro tiene un radio de 4,2 centímetros y una altura de inclinación de 8,6 centímetros. Si él quiere envolver 6 gorros de fiesta, ¿cuánto papel necesitará?

Solución

Este problema involucra un cono. No incluye un dibujo, así que dibujar una red podría serte de ayuda. En tu dibujo, destaca el radio y la altura de inclinación del cono. También podemos usar la fórmula. Simplemente introducimos el radio y la altura de inclinación en las variable apropiadas de la fórmula y despejamos $SA$ .

$SA &= \pi r^2 + \pi rs\\\SA &= \pi (4.2^2) + \pi (4.2) (8.6)\\\SA &= 17.64 \pi + 36.12 \pi\\\ SA &= 53.76 \pi\\\SA &= 168.81 \ cm^2$

Trey necesitará 168,81 centímetros cuadrados para cubrir un gorro, cuando aproximamos pi como 3.14.

¡Aún no hemos terminado! Recuerda que él quiere cubrir 6 gorros de fiesta.

Debemos multiplicar el área de superficie de un gorro por 6 para encontrar la cantidad total de papel que necesita: $168.81 \times 6 = 1,012.86$ . Trey necesitará 1.012,86 centímetros cuadrados de papel para cubrir sus 6 gorros.

Repaso en Video

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*Solo en Inglés

Práctica

¿Cuál es el nombre de la figura representada en esta red?
¿Cuál es el diámetro de esta figura?
¿Cuál es el diámetro de esta figura?
¿Cuál es el área de superficie de la figura?

¿Cuál es el nombre de esta figura?
¿Cuál es la forma de la base?
¿Cuál es el diámetro de la base?
¿Cuál es el área de superficie de la figura?

¿Cuál es el nombre de esta figura?
¿Cuál es la forma de la base?
¿Cuál es el diámetro de la base?
¿Cuál es el área de superficie de la figura?

Instrucciones: Encuentra el área de superficie de cada cono.

$r = 4 \ in, \ sh = 5 \ in$
$r = 5 \ m, \ sh = 7 \ m$
$r = 3 \ cm, \ sh = 6 \ cm$

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