Volumen de los Prismas

En esta sección, calcularás el volumen de distintos prismas.

¿Alguna vez has tenido una pecera? Analicemos este problema.

Carlos está limpiando su pecera, por lo que llenó la bañera hasta el borde con agua para que sus peces naden mientras él limpia su tanque. Si la bañera tiene 5,5 pies de largo, 3,3 pies de ancho y 2,2 pies de profundidad, ¿Cuántos pies cúbicos de agua puede contener la bañera?

Para resolver este problema, debes entender que es el volumen. Pon atención a esta Sección y sabrás cómo resolver este problema al final.

Orientación

¿Qué es el volumen?

El Volume de un sólido es la medida de cuanto espacio tridimensional contiene o aguanta.

Imagina un acuario para peces. Su largo, ancho y altura determinan cuánta agua puede contener el tanque. Si lo llenamos con agua, la cantidad de agua nos dice el volumen del tanque.

Medimos el volumen en unidades cúbicas, porque multiplicamos tres dimensiones: largo, ancho y altura.

Hay varias formas de calcular el volumen. La primera forma de explorar esto es calcular el volumen usando unidades cúbicas.

¿Que son las unidades cúbicas?

Las unidades cúbicas son cubos utilizados para representar una unidad. Cuando “llenamos” un sólido con unidades cúbicas, podemos ver que las unidades cúbicas se alinean formando la figura. Entonces, podemos contar o calcular el número de unidades cúbicas en el sólido. La cantidad de unidades cúbicas en el sólido es el volumen de la figura. Examinemos cómo es esto en el siguiente prisma.

Puedes ver que este prisma tiene unidades cúbicas. Tiene tres unidades cúbicas alineadas representando el largo, dos unidades cúbicas a los lados representando el ancho y cuatro unidades cúbicas apiladas representando el alto. Si contamos todas estas unidades cúbicas, veremos que tenemos 24 unidades cúbicas.

Nuestra respuesta para el volumen se escribiría como 24 unidades cúbicas. Nótese que usamos las unidades cúbicas multiplicando el largo X el ancho X la altura.

La fórmula del volumen es una versión simplificada del método que acabamos de aprender. Como vimos, usamos el largo y al ancho para hallar la cantidad de unidades cúbicas en la primera capa de la figura. Es lo mismo que encontrar el área de su base. Veamos cómo funciona esto.

En este caso, la base del prisma es un rectángulo. Podemos usar la fórmula del área para encontrar el área de la base: $A = lw$ . Es lo mismo que contar la cantidad de unidades cúbicas en cada fila y la cantidad de filas. Una vez que encontramos el área, simplemente la multiplicamos por la altura para incluir el resto de las capas. Por tanto, la fórmula para el volumen de un prisma rectangular es

$V = Bh$

$B$ representa el área de la base del prisma. Recuerda que un prisma puede tener una base con la forma de cualquier polígono. Por tanto, la fórmula que debemos usar para encontrar el área de la base cambiará según la forma, pero el proceso sigue siendo el mismo: buscamos el área de la cara (en este caso, la base) y luego la multiplicamos por la altura del prisma. Recuerda que deberás calcular el área de la base y multiplicar el resultado por la altura para calcular el volumen.

Pongamos esto a prueba.

Encuentra el volumen del siguiente prisma.

Simplemente introducimos el largo, ancho y altura en las variables apropiadas de la fórmula. Luego, despejamos la $V$ , el volumen.

Primero, buscamos el área de la base. Este es el lado rectangular del fondo. Recuerda que, para encontrar el área de un rectángulo, multiplicamos el largo por el ancho. Este es el primer paso.

$A&=lw\\\ A&=(16)(9)\\\A&=144 \ sq.cm$

El área de la base es 144 centímetros cuadrados.

Aún no hemos terminado. Debemos calcular el volumen, por lo que debemos calcular las medidas del área de la base de la figura y multiplicarlas por la altura de la figura. Usaremos la siguiente fórmula para calcular esta medida.

$V&=Bh\\\ V&=144(4)\\\V&=576 \ cm^3$

El volumen de este prisma rectangular es $576 \ cm^3$ . Nótese que usamos el exponente tres para representar las unidades cúbicas de la figura. Todo volumen se mide en unidades cúbicas, por lo que deberás usar este exponente cuando estés calculando el volumen de un sólido.

Ahora escribe esta fórmula en tu cuaderno. Asegúrate de anotar que necesitas encontrar el área de la base de la figura y que este cálculo es diferente dependiendo de la figura.

También podemos usar lo que hemos aprendido para calcular a la inversa. Si conocemos el volumen y el área de la base de un prisma, entonces podemos calcular la altura del prisma, el cual podría ser la dimensión perdida. ¡Recuerda que esto es igual que resolver un puzle!

La base de un prisma rectangular con un volumen de 1.145,52 pies cúbicos tiene lados de 17,2 pies y 11,1 pies. ¿Cuál es la altura del prisma?

Primero, debemos encontrar el área de la base, $B$ . Sabemos que este es un prisma rectangular, por lo que usamos la fórmula $B = lw$ .

$B &= lw\\\B &= 17.2 (11.1)\\\B &= 190.92 \ ft^2$

Podemos introducir esto en la $B$ . de la fórmula. También nos dieron el volumen del prisma, por lo que lo introducimos en la $V$ . Luego despejamos la $h$ , la altura.

$V &= Bh\\\1,145.52 &= 190.92h\\\1,145.52 \div 190.92 &= h\\\6 \ ft &= h$

La altura del prisma es 6 pies.

Encuentra el volumen de cada prisma.

Ejemplo A

Un prisma triangular con $b = 12 \ in, \ h = 10 \ in, \ H = 15 \ in$

Solución: $900 \ in^3$

Ejemplo B

Un prisma rectangular con un largo de 8 m, un ancho de 7 m y una altura de 3 metros

Solución: $168$ $m^3$

Ejemplo C

Un prisma rectangular con un largo de 10 in, un ancho de 8 in y una altura de 6 pulgadas

Solución: $480$ $in^3$

Ahora volvamos al problema al principio de la Sección.

Primero que nada, ¿qué es lo que nos pide encontrar el problema? Debemos encontrar el volumen de la bañera. ¿Esta bañera es un prisma o un cilindro? Es un prisma rectangular, por lo que debemos usar la fórmula del área para rectángulos para encontra $B$ .

$B &= lw\\\B &= 5.5 \times 3.3\\\B &= 18.15 \ ft^2$

Ahora introducimos este valor en la fórmula del volumen y resolvemos.

$V &= Bh\\\V &= 18.15 \times 2.2\\\V &= 39.93 \ ft^3$

La bañera de Carlos puede tener 39,93 pies cuadrados de agua.

Vocabulario

Volume

Cantidad de agua o capacidad que puede contener un sólido. El volumen se mide en unidades cúbicas.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que intentes resolverlo.

¿Cuál es el volumen del siguiente prisma?

Solución

Como hemos visto, la fórmula del volumen para cualquier prisma es $V = Bh$ . Primero, necesitamos encontrar el área de la base. Observa el prisma en la imagen. La base es un triángulo, por lo que esta vez debemos usar la fórmula del área de un triángulo, $\frac{1}{2} bh$ , para encontrar $B$ . La altura del triángulo, $h$ , se indica con una línea punteada. La base del triángulo, $b$ , es el lado perpendicular a la altura. Recuerda que usamos las medidas de altura y base de la cara triangular, no la medida de altura del prisma completo. ¡Mira atentamente a la imagen!

Ahora usemos la fórmula para encontrar el área de un triángulo para encontrar el área de la base del triángulo.

$B &= \frac{1}{2} bh\\\B &= \frac{1}{2}(16)(6)\\\B &= 8(6)\\\ B &= 48 \ in.^2$

Ahora tenemos el área de la base: 48 pulgadas cuadradas.

Luego, solo hay que multiplicarlo por la altura del prisma, de acuerdo a la fórmula del volumen.

$V &= Bh\\\V &= 48 (10)\\\V &= 480 \ in.^3$

El volumen de este prisma triangular es $480 \ in^3$ .

Repaso en Video

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

*Solo en Inglés

Khan Academy Solid Geometry Volume

Práctica

Instrucciones: Observa cada figura y responde las preguntas.

Nombra la figura dibujada.
¿Cuál es el largo de la figura?
¿Cuál es el ancho de la figura?
¿Cuál es la altura de la figura?
¿Cuál es el volumen de la figura?

¿Cuál es el nombre de la figura dibujada?
¿Cuál es la forma de sus bases?
¿Cuál es la forma de las caras laterales?
¿Cuál es el volumen de la figura?

¿Cuál es el nombre de la figura dibujada?
¿Cuál es el volumen de la figura?

Instrucciones: Usa lo que has aprendido sobre el volumen para resolver cada problema.

Un prisma rectangular tiene una base que mide 16,2 pies por 14,8 pies. ¿Si su volumen es de 2.877,12 pies cúbicos, ¿cuál es su altura?
Kelly usa un contenedor rectangular para llenar un balde de agua. El contenedor tiene 3,8 pulgadas de largo, 2,5 pulgadas de ancho y 7,2 pulgadas de alto. Si la capacidad del balde es de 1.368 pulgadas cúbicas de agua, ¿Cuántas veces Kelly tendrá que llenar el contenedor para poder llenar el balde?
Verdadero o Falso. El volumen puede usarse para medir la cantidad de agua en una piscina.
Verdadero o Falso. El área de superficie y el volumen miden el mismo concepto.

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