Volumen de los Cilindros

En esta sección, calcularás el volumen de los cilindros.

¿Te has preguntado cuanta sopa puede haber en una lata? Observa este problema.

Mientras estaban pintando, José y Carmen mandaron a Alicia al almacén a comprar algo para almorzar. Ya que los tres estaban pintando en casa de José, su madre horneo pan, por lo que tomar sopa parecía ser la opción más obvia.

Cuando Alicia llegó a la tienda, no estaba segura de cuanta sopa debía comprar. Escogió una apetitosa sopa orgánica de pollo y verduras que pensó que les gustaría a todos, pero no se decidía si comprar dos o tres latas.

Tras pensárselo unos minutos, le rugió el estómago y decidió irse con las tres latas.

“Si sobra sopa, alguien de la casa de José se la tomará”, pensó para sí misma.

Alicia compró las tres latas de sopa y se dirigió a casa de José.

Cada lata tiene un diámetro de 5,4 pulgadas y una altura de 6,7 pulgadas. ¿Cuál es el volumen total de sopa que compró Alicia?

Para resolver este problema, deberás saber acerca del volumen. Pon atención al contenido de esta Sección y, al final, sabrás cómo responder esta pregunta.

Orientación

¿Qué es el volumen?

El Volumen de un sólido es la medida de cuanto espacio tridimensional puede contener o aguantar.

Imagina un acuario para peces. Su largo, ancho y altura determinan cuánta agua puede contener el tanque. Si lo llenamos con agua, la cantidad de agua nos dice el volumen del tanque.

Medimos el volumen en unidades cúbicas, porque multiplicamos tres dimensiones: largo, ancho y altura.

Hay varias formas de calcular el volumen. La primera forma de explorar esto es calcular el volumen usando unidades cúbicas.

¿Que son las unidades cúbicas?

Las unidades cúbicas son cubos utilizados para representar una unidad. Cuando “llenamos” un sólido con unidades cúbicas, podemos ver que las unidades cúbicas se alinean formando la figura. Entonces, podemos contar o calcular el número de unidades cúbicas en el sólido. La cantidad de unidades cúbicas en el sólido es el volumen de la figura.

Podemos usar las unidades cúbicas para calcular el volumen de un cilindro.

Esto será un poco extraño, porque un cilindro es circular y las unidades cúbicas son cuadradas. Esto significa que, como no podemos cortar una unidad cúbica en secciones, nos será imposible calcular una medida precisa para el volumen. Tendremos que estimar el volumen del cilindro.

Puedes ver que calcular el volumen de una figura contando unidades cúbicas no siempre funciona. Puedes apreciar esto en el caso del cilindro. Hay una forma más fácil; podemos calcular el volumen de cualquier solido usando una fórmula.

Veamos ahora cual es la fórmula.

Recuerda anotar la fórmula en tu cuaderno.

Todo lo que necesitamos saber es el radio de las caras circulares y la altura del cilindro. Simplemente introducimos estos números a la fórmula y despejamos el volumen, $V$ . Observa.

Encuentra el volumen del siguiente cilindro.

Tenemos toda la información que necesitamos para encontrar el volumen. Introduzcamos los números a la fórmula.

$V &= \pi r^2 h\\\V &=\pi(5.5^2)(2.7)\\\V &=\pi(30.25)(2.7)\\\ V &=81.68 \pi\\\V &=256.48 \ cm^3$

El volumen de este cilindro es de 256,48 centímetros cúbicos.

También podemos calcular a la inversa si tenemos el volumen y otra dimensión. En este caso, hay que resolver la fórmula para encontrar la dimensión faltante.

Un cilindro con un radio de 3 pulgadas tiene un volumen de $140.4 \pi$ pulgadas cúbicas. ¿Cuál es la altura del cilindro?

Qué es lo que nos pide encontrar el problema? Necesitamos obtener la altura del cilindro. El problema nos muestra el radio y el volumen. Esta vez, el volumen está escrito en función de pi. Esta es una forma de mostrar un número más específico, en vez de aproximar con 3,14. Simplemente introducimos el número completo en la fórmula sustituyendo $V$ y luego despejamos $h$ , la altura.

$V &= \pi r^2h\\\140.4 \pi &= \pi (3^2) h\\\140.4 \pi &= 9 \pi h\\\140.4 \pi \div 9 \pi &= h \quad \text{Divide both sides by} \ 9 \pi. \ \pi \ \text{cancels out.}\\\15.6 \ in. &= h$

Usamos la fórmula del volumen para despejar $h$ y encontrar que la altura del cilindro es de 15,6 pulgadas.

Encuentra el volumen de cada cilindro.

Ejemplo A

Un cilindro con un radio de 3 pulgadas y una altura de 9 pulgadas.

Solución: $254.34$ pulgadas cuadradas

Ejemplo B

Un cilindro con un radio de 2,5 pies y una altura de 6 pies.

Solución: $117.75$ pulgadas cuadradas

Ejemplo C

Un cilindro con un diámetro de 5 pulgadas y una altura de 7 pulgadas.

Solución: $137.37$ pulgadas cuadradas

Ahora volvamos al problema al principio de la Sección.

¿Qué tenemos que encontrar?

Debemos encontrar el volumen de sopa que compró Alicia. Ten en cuenta que ella compró 3 latas de sopa. Debemos encontrar el volumen de una lata de sopa y luego multiplicar esta cantidad por 3 para encontrar el volumen total.

¿Qué información tenemos?

Primero, sabemos que las latas de sopa son cilindros, por lo que necesitamos usar la fórmula del volumen para cilindros. También sabemos que la altura de cada lata es de 6,7 pulgadas. ¿Cuál es el radio? Solo tenemos el diámetro, que mide 5,4 pulgadas. Por tanto, debemos dividirlo por 2 para encontrar el radio.

$5.4 \div 2 = 2.7$

El radio de cada lata es de 2,7 pulgadas. Ahora podemos introducir esta información en la fórmula y despejar $V$ , el volumen.

$V &= \pi r^2h\\\V &= \pi (2.7^2)(6.7)\\\V &=\pi (7.29)(6.7)\\\V &= 48.84 \pi\\\ V &= 153.36 \ in.^3$

Cada lata tiene un volumen de 153,36 pulgadas cúbicas cuando aproximamos pi como 3,14.

¡Aún no hemos terminado! Recuerda que debemos encontrar el volumen total de tres latas de sopa. Por tanto, debemos multiplicar el volumen de una lata por 3.

$153.36 \times 3 = 460.08 \ in^3$

Alicia compró un total de 460,08 pulgadas cúbicas de sopa.

Vocabulario

Volumen: Cantidad de agua o capacidad que puede contener un sólido. El volumen se mide en unidades cúbicas.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que intentes resolverlo.

Encuentra el volumen del siguiente cilindro.

Un tanque de agua tiene un radio de 45 pies y una altura de 300 pies. ¿Cuántos pies cúbicos de agua puede contener el tanque cuando está lleno?

Solución

Para resolver este problema, usaremos la fórmula para hallar el volumen de un cilindro y sustituir los valores dados con las variables de la fórmula.

$V &= \pi r^2h\\\V &= \pi (45^2)(300)\\\V &=\pi (2025)(300)\\\V &= 607,500 \pi\\\ V &= 1,907,550 \ ft.^3$

Esta es la respuesta.

Repaso en Video

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

*Solo en Inglés

Khan Academy and Volume of Cylinders

Práctica

Nombra la figura dibujada.
¿Cuál es el diámetro de la figura?
¿Cuál es el radio de la figura?
¿Cuál es el volumen de la figura?

Instrucciones: Encuentra el volumen de cada cilindro dado su radio y altura.

$r = 4 feet, h = 5 feet$
$r = 6 cm, h = 8 cm$
$r = 4.5 feet, h = 5 feet$
$r = 3.5 m, h = 7 m$
$r = 13 ft, h = 2 ft$
$r = 11 m, h = 12 m$
$r = 1.5 ft, h = 3 ft$
$r = 7 in, h = 12 in$
$r = 8 cm, h = 11 cm$
$r = 5 m, h = 9 m$
$r = 4.5 ft, h = 6 ft$

Prev Next