Volumen de las Pirámides

En esta sección, encontrarás el volumen de las pirámides.

¿Alguna vez has visto una vela en forma de pirámide? Analiza este problema.

Brianna compró la vela de la imagen siguiente para el cumpleaños de su amiga. El paquete dice que la vela dura una hora encendida por cada 20 centímetros cúbicos de cera. ¿Cuántas horas le tomará a la vela consumirse por completo?

Pon atención, pues en esta Sección aprenderás todo lo que debes saber acerca del volumen y las pirámides.

Orientación

¿Qué es el volumen?

El Volumen de un sólido es la medida de cuanto espacio tridimensional puede contener o aguantar.

Imagina un embudo. Su tamaño determina cuánta agua puede contener el embudo. Si lo llenamos con agua, la cantidad de agua nos dice el volumen del embudo. Generalmente pensamos en el Volumen cuando hablamos de medir líquidos o capacidad liquida de algo.

Medimos el volumen en tres dimensiones: largo, ancho y altura. Por tanto, medimos el volumen en unidades cúbicas. Podemos usar unidades cúbicas para representar volumen. Observa el siguiente cubo.

Puedes ver que el cubo es de $3 \times 3 \times 3$ . Si quisiéramos encontrar el volumen de este cubo, podríamos encontrar el área de la base y luego multiplicarla por la altura.

$V & =Bh\\\V & =(s^2 )3\\\V & =3^2 (3)\\\V & =27 \ cubic \ units$

Nótese que medimos el volumen en unidades cúbicas.

Las pirámides, sin embargo, son algo distinto, pues son más pequeñas en la punta de lo que son en su base. Es muy difícil usar las unidades cúbicas para medir el volumen de estos sólidos, ya que estaríamos calculando partes de las unidades cúbicas.

Lo más importante a recordar es que medir el volumen implica llenar un sólido.

Una pirámide tiene exactamente un tercio del volumen de un cubo.

Esta es la fórmula para hallar el volumen de las pirámides.

$V= \frac{1}{3} Bh$

Sin embargo, las pirámides pueden ser complicadas, debido a que pueden tener bases con cualquier forma. Las pirámides pueden tener bases triangulares, rectangulares o cuadradas. Esto significa que necesitamos elegir la fórmula apropiada para encontrar el área de la base, o $B$ . Estas son las fórmulas de área más comunes:

Cuadrado: $A = s^2$

Rectángulo: $A = lw$

Triángulo: $A = \frac{1}{2} bh$

Cuando nos dan una pirámide, lo primero que debemos hacer es determinar la forma de la base. Entonces, sabremos cual fórmula utilizar para encontrar el área de la base. Una vez que tengamos el área de la base, la introducimos a la fórmula del volumen junto con la altura de la pirámide y despejamos la $V$ .

Pongámoslo a prueba.

¿Cuál es el volumen de la siguiente pirámide?

Primero, decidamos cual es la forma de la base de la pirámide. Hay dos pares de lados paralelos que se juntan en ángulos rectos, por lo que debe ser un rectángulo. Debemos usar la fórmula del área para rectángulos para encontrar $B$ , el área de la base.

$B & = lw\\\B & = 11 (6.3)\\\B & = 69.3 \ cm^2$

El área de la base de esta pirámide es de 69,3 centímetros cuadrados. Ahora multiplicamos esto por la altura y $\frac{1}{3}$ , de acuerdo con la fórmula.

$V & = \frac{1}{3} Bh\\\V & = \frac{1}{3} (69.3) (15)\\\V & = 23.1 (15)\\\V & = 346.5 \ cm^3$

El volumen de esta pirámide es $346.5 \ cm^3$ . Recuerda que el volumen siempre se mide en unidades cúbicas y por ello nuestro exponente es un tres.

Encuentra el volumen de cada pirámide.

Ejemplo A

Una pirámide cuadrada con una base de 5,5 pulg. y una altura de 4 pulg.

Solución: $40.33 \ in^3$

Ejemplo B

Una pirámide cuadrada con una base de 5,5 pulg. y una altura de 4 pulg.

Solución: $128 \ cm^3$

Ejemplo C

Una pirámide rectangular con un largo de 10 cm, un ancho de 8 cm y una altura de 9 cm.

Solución: $240 \ cm^3$

Ahora volvamos al problema al principio de la Sección.

Primero, determinemos que es lo que nos pide encontrar el problema. Necesitamos encontrar el número de horas que le tomará a la vela consumirse. Esto depende de que tan grande sea la vela, por lo que primero hallaremos su volumen. El volumen de la vela es la cantidad de cera que tiene.

¿Qué información tenemos? Conocemos las dimensiones de la base, la cual es un cuadrado, por lo que usaremos la fórmula del área de cuadrados para encontrar el área de la base.

$B & = s^2\\\B & = (12^2)\\\B & = 144 \ cm^2$

El área de la base de la pirámide es de 144 centímetros cuadrados. Podemos introducir esta información en la fórmula y despejar $V$ , el volumen.

$V & = \frac{1}{3} Bh\\\V & = \frac{1}{3} (144) (24)\\\V & = 48 (24)\\\V & = 1,152 \ cm^3$

Ahora sabemos que la vela tiene 1.152 centímetros cúbicos de cera.

¡Aún no hemos terminado! Recuerda que necesitamos encontrar cuantas horas necesita la vela para consumirse. Volvamos a ver el problema. Nos dice que la vela se mantiene encendida una hora por cada 20 centímetros cúbicos de cera. Para descubrir en cuantas horas se consumirá la vela, necesitamos dividir el volumen total de cera por 20.

$1,152 \div 20 = 57.6$

La cera se consumirá completamente en 57,6 horas. Esta es nuestra respuesta.

Vocabulario

Pirámide: Sólido con un polígono como base y caras laterales triangulares que se juntan en un solo vértice.

Área Basal: Área de la base de un sólido.

Altura: Medida que es perpendicular a la base de un sólido.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que intentes resolverlo.

Una pirámide triangular tiene un volumen de 266 pies cúbicos y un área base de 42 pies cuadrados. ¿Cuál es su altura?

Solución

¿Qué es lo que debemos encontrar? Necesitamos encontrar la altura, $h$ . Nos han dado el volumen y el área basal, por lo que debemos introducir esta información en la fórmula.

$V & = \frac{1}{3} Bh\\\266 & = \frac{1}{3} (42)h\\\266 & = 14h\\\266 \div 14 & = h\\\19 & = h$

La altura de esta pirámide es de 19 pies.

Repaso en Video

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*Solo en Inglés

Práctica

¿Cuál es la fórmula que necesitarías para encontrar el volumen de una pirámide?
Cuando ves una B mayúscula en una fórmula, significa que estás buscando que cosa: ¿el perímetro o el área de la base?

¿Cuál es el nombre de la figura dibujada?
¿Cuál es la forma de la base?
¿Cuál es el volumen de la figura?

¿Cuál es el nombre de la figura dibujada?
¿Cuál es la diferencia entre esta figura y la de la imagen anterior?
¿Cuál es el volumen de la figura?
¿Cuál es la forma de la base?

Instrucciones: Usa lo que has aprendido para resolver cada uno de los siguientes problemas.

Una pirámide cuadrada tiene una base con lados de 6 yardas cada uno y un volumen de 175 yardas cúbicas. ¿Cuál es su altura?
Claire tiene una botella de perfume en forma de una pirámide triangular. Su área basal es de 48 centímetros cuadrados y su altura es de 28 centímetros. ¿Cuánto líquido tiene la botella cuando esta exactamente medio llena?
Encuentra el volumen de una pirámide cuadrada con una base de 4 pulgadas y una altura de 6 pulgadas.
Encuentra el volumen de una pirámide rectangular con un largo de 5 pulgadas, un ancho de 7 pulgadas y una altura de 8 pulgadas.
Encuentra el volumen de una pirámide cuadrada con una base de 8 metros y una altura de 12 metros.
Encuentra el volumen de una pirámide cuadrada con una base de 13.5 metros y una altura de 15 metros.

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