Volumen de los Conos

Aquí calcularás el volumen de los conos y los conos truncados.

¿Has medido alguna vez la cantidad de helado que puede contener un cono? Analicemos este problema.

“Necesitamos algo que nos ayude a reunir fondos”, dijo Maria en la junta de planeación para las Olimpiadas escolares.

“Estoy de acuerdo. Además, la gente vendrá con hambre”, aseveró Jamie.

“¿Qué tal si vendemos conos de helado? Podemos usar el congelador de la sala de almuerzo para servir los helados”, sugirió Dan.

“Creo que es una gran idea. ¿Qué tal si usamos conos de waffles?” añadió Maria.

El grupo siguió discutiendo el tema y, al final, concordaron en dos conos de diferentes tamaños, uno que tiene $4^{\prime\prime}$ de diámetro y $4^{\prime\prime}$ de largo y otro que tiene $5^{\prime\prime}$ de diámetro y $6^{\prime\prime}$ de largo.

“Podríamos cobrar el doble por el cono grande” dijo Jamie.

“No creo. No es el doble de tamaño”, discrepó Dan.

“Pero tendrá el doble de helado”, explicó Jamie.

“No creo, porque no es el doble de largo.”

“Eso no importante, pues se trata del volumen” dijo Jamie.

¿Quién tiene razón? Para resolver esto, necesitas conocer el volumen de ambos conos. Entonces podrás decidir si el grupo debería cobrar el doble por el cono mayor.

Orientación

¿Qué es el volumen?

El Volumen de un sólido es la medida de cuanto espacio tridimensional puede contener o aguantar.

Imagina un embudo. Su tamaño determina cuánta agua puede contener el embudo. Si lo llenamos con agua, la cantidad de agua nos dice el volumen del embudo.

Generalmente pensamos en el Volumen cuando hablamos de medir líquidos o capacidad liquida de algo.

Medimos el volumen en tres dimensiones: largo, ancho y altura. Por tanto, medimos el volumen en unidades cúbicas. Podemos usar unidades cúbicas para representar volumen.

Los conos, sin embargo, son algo distinto, pues son más pequeñas en la punta de lo que son en su base. Es muy difícil usar las unidades cúbicas para medir el volumen de estos sólidos, ya que estaríamos calculando partes de las unidades cúbicas.

Lo más importante a recordar es que medir el volumen implica llenar un sólido.

Un cono tiene exactamente un tercio del volumen de un cubo.

Esta es la fórmula para encontrar el volumen de un cono.

$V= \frac{1}{3} Bh$

Cuando usas esta fórmula, ten en cuenta que la base de un cono es circular.

Por tanto, para encontrar el área de la base área, necesitaremos usar la fórmula para encontrar el área de un círculo: $A = \pi r^2$ .

En un cono, siempre tendrás una base circular, por lo que siempre usarás la misma fórmula de área para encontrar la base. Así es cómo se vería si fuera una sola fórmula.

$V=\frac{1}{3} (\pi r^2)(h)$

Ahora podemos ver que debemos encontrar el área de la base, multiplicarla por la altura y, luego, multiplicarla por un tercio o restar un tercio del producto entre el área basal y la altura.

Apliquemos esto.

¿Cuál es el volumen del cono siguiente?

Primero, debemos encontrar el área basal. La base es un círculo, por lo que usaremos la fórmula del área para los círculos.

$B & = \pi r^2\\\B & = \pi (3.5^2)\\\B & = 12.25 \pi\\\B & = 38.47 \ cm^2$

La base circular tiene un área de 38,47 centímetros cuadrados. Ahora, podemos introducir esta medida en la fórmula para el volumen.

$V & = \frac{1}{3} Bh\\\V & = \frac{1}{3} (38.47) (22)\\\V & = 12.82 (22)\\\V & = 282.04 \ cm^3$

El volumen de este cono es $282.04 \ cm^3$ .

¿Sabes cómo se ve un cono truncado?

Nótese que tenemos dos radios para trabajar, además de la altura del cono truncado. Podemos usar la siguiente fórmula para calcular el volumen.

$V=\frac{1}{3} \pi(r1^2+(r1)(r2)+r2^2)h$

Tomate unos minutos para escribir esta fórmula en tu cuaderno.

Ahora podemos tomar medidas y calcular el volumen del cono truncado.

¿Cuál es el volumen de un cono truncado con un radio superior de 2 cm, un radio inferior de 4 cm y una altura de 4.5 cm?

Para resolver este problema, debemos sustituir los valores dados en la fórmula y resuelve para obtener el volumen.

$V & = \frac{1}{3} \pi (r1^2+(r1)(r2)+r2^2)h \\\V & = \frac{1}{3} \pi (2^2+(2)(4)+4^2)4.5 \\\V & = \frac{1}{3} \pi (4+8+16)4.5 \\\V & = \frac{1}{3} \pi (126)\\\V & = \frac{1}{3} (395.64)\\\V & = 131.88 \ cm^3$

Este es el volumen de este cono truncado.

Encuentra el volumen de cada cono. De ser necesario, puedes redondearlo a la centésima más cercana.

Ejemplo A

Un cono con un radio de 2 pulgadas y una altura de 4 pulgadas.

Solución: $16.75 \ in^3$

Ejemplo B

Un cono con un radio de 5 cm y una altura de 7 cm.

Solución: $183.17 \ cm^3$

Ejemplo C

Un cono con un radio de 3 m y una altura de 8 m.

Solución: $75.36 \ m^3$

Ahora volvamos al problema al principio de la Sección.

Podemos empezar calculando el volumen de los dos conos de helado.

El Cono 1 tiene un diámetro de $4^{\prime\prime}$ y una altura de $4^{\prime\prime}$

El Cono 2 tiene un diámetro de $5^{\prime\prime}$ y una altura de $6^{\prime\prime}$

La fórmula del volumen de un cono es $\frac{1}{3} \pi r^2 h$

Cono 1

$\frac{1}{3}(3.14)(2^2)(4) = 16.75 \ in^3$

Cono 2

$\frac{1}{3}(3.14)(2.5^2)(6) = 39.25 \ in^3$

El volumen del Cono 2 es más que el doble del Cono 1. Si quisieran, los estudiantes podrían cobrar el doble por el cono.

Vocabulario

Volumen: Capacidad dentro de un sólido o la cantidad de espacio que puede contener un sólido.

Conos: Figura con una base circular y lados curvos que se juntan en un sólo vértice.

Área Basal: Área de la base de un sólido.

Altura: Medida que es perpendicular a la base de un sólido.

Cono truncado: Sección de un cono. Tiene dos radios circulares; uno arriba y uno en la base.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que intentes resolverlo.

¿Cuál es la altura de un cono cuyo radio tiene 1,6 metros y un volumen de 20,1 metros cúbicos?

Solución

¿Qué información tenemos y debemos encontrar? Conocemos el radio, por lo que podemos calcular el área basal. También conocemos el volumen, por lo que podemos ingresarla a la fórmula y resolver para encontrar la $h$ , la altura. Primero, busquemos la $B$ .

$B & = \pi r^2\\\B & = \pi (1.6^2)\\\B & = 2.56 \pi\\\B & = 8.04 \ m^2$

El área de la base es de 8,04 pulgadas cuadradas cuando aproximamos pi. Ahora podemos introducir esto en la fórmula del volumen.

$V & = \frac{1}{3} Bh\\\20.1 & = \frac{1}{3} (8.04)h\\\20.1 & = 2.68h\\\20.1 \div 2.68 & = h\\\7.5 \ m & = h$

Encontramos que la altura del cono debe ser de 7,5 metros.

Repaso en Video

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*Solo en Inglés

Volume of a Cone

Práctica

Instrucciones: Responde las siguientes preguntas.

¿Cuál es la fórmula para encontrar el volumen de un cono?
Verdadero o Falso. Un cono truncado es un cono sin vértice.
Verdadero o Falso. Para encontrar el volumen de un cono truncado, puedes usar la misma fórmula para encontrar el volumen de un cono regular.

¿Cuál es el diámetro de este cono?
¿Cuál es la altura del cono?
¿Cuál es el volumen del cono?

¿Cuál es el diámetro de este cono?
¿Cuál es la altura del cono?
¿Cuál es el volumen del cono?

¿Cuál es el diámetro de este cono?
¿Cuál es el radio de este cono?
¿Cuál es la altura del cono?
¿Cuál es el volumen del cono?

Instrucciones: Usa lo que has aprendido para resolver los siguientes problemas.

Un cono con un radio de 6 metro y un volumen de $168 \pi$ . ¿Cuál es su altura?
Los contenedores de glaseado del decorador de pasteles de Tina son conos. Cada contenedor tiene un radio de 2,4 pulgadas y una altura de 7 pulgadas. Si Tina compra contenedores de glaseado rojo, amarillo y azul, ¿cuánto glaseado comprará?

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