Área de Superficie de las Esferas

En esta sección, calcularás el área de superficie de una esfera.

¿Alguna vez has hecho una piñata? ¿Has roto alguna? Analiza este problema.

Las Olimpiadas de la Escuela Media Montgomery fueron un gran éxito. Los estudiantes y los invitados la pasaron muy bien y todos decidieron que este evento debería ser un evento anual de ahora en adelante.

Para la celebración final, los estudiantes hicieron una gran fiesta en el gimnasio. Joe decidió hacer una piñata que los estudiantes disfrutarían. De hecho, hizo cuatro para la fiesta. Cuando termino de hacer la forma básica, Joe empezó a decorar la piñata esférica con cartulina verde.

Cada esfera tiene un radio de 2,4 pies y Joe hizo cuatro piñatas. ¿Cuánta cartulina necesitará para cubrir cada piñata completamente?

Determinar el área de superficie de una esfera puede ser algo difícil de calcular. Para este problema, necesitarás saber cómo obtener el área de superficie de una esfera. Pon mucha atención en esta Sección y sabrás como resolver el problema al final.

Orientación

Una esfera es una figura sólida que existe en un espacio tridimensional. Las esferas consisten en todos los puntos equidistantes a un punto central. Cada punto de la esfera es la distancia radial desde el centro. Las esferas son perfectamente redondas.

¿Sabías que puedes calcular el área de superficie de una esfera? ¿Sabes cómo hacer esto?

Primero, analicemos el área de superficie.

El área de superficie es el total de las áreas de cada una de las caras de una figura sólida.

Las esferas no tienen caras, porque son redondas. Sin embargo, aún podemos pensar que su superficie es un plano que podemos desenrollar. Imagina que pudieras envolver una esfera en papel de regalo. La cantidad de papel de regalo necesaria para cubrir completamente la figura representa su área de superficie.

Si pudiéramos “desenrollar” la esfera y mostrarla como un rectángulo, el rectángulo tendría un ancho equivalente al diámetro de la esfera. Su largo sería la misma que la circunferencia de la esfera (recuerda que la circunferencia es la distancia alrededor de un círculo). Esto nos da algo con que trabajar, porque podemos usar la fórmula del área para los rectángulos para encontrar el área de la esfera “desenrollada”.

La fórmula del área de los rectángulos es $A = lw$ . En otras palabras, multiplicamos el largo y el ancho. Ahora, analicemos esto en base a la esfera. Dijimos que el largo es igual que la circunferencia y que el ancho es igual al diámetro. Esto nos da $A = Cd$ . Ahora sustituyamos $C$ , con la fórmula de la circunferencia, la cual es $2 \pi r$ , donde $r$ es el radio. Ahora tenemos $A = 2 \pi rd$ . Hay una sustitución más que debemos hacer para facilitar los cálculos. Recuerda que el diámetro de un círculo o esfera es exactamente el doble que el radio. Usemos $2r$ en vez de $d$ . Ahora tenemos $A = 2 \pi r \times 2r$ . Finalmente, podemos simplificar esto multiplicando para obtener $4 \pi r^2$ . Sumemos todo:

$A & = l \times w\\\A & = C \times d\\\A & = 2 \pi r \times 2r\\\SA & = 4 \pi r^2$

La fórmula para encontrar el área de superficie de una esfera es $4 \pi r^2$ .

Escribe esta fórmula en tu cuaderno.

Todo lo que necesitamos es sustituir la medida del radio por $r$ en la fórmula y resuelve por $SA$ , el área de superficie.

Pongámoslo a prueba.

¿Cuál es área de superficie de la esfera siguiente?

Podemos ver que el radio de la esfera es 8, por lo que podemos introducirlo en la fórmula y resolver.

$SA & = 4 \pi r\\\SA & = 4 \pi (8^2)\\\SA & = 4 \pi (64)\\\SA & = 256 \pi$

Calcular números con pi es un poco complicado, porque pi es, de hecho, un número decimal que nunca terminal.

La medida más exacta del área de superficie de la esfera es dejándola como $256 \pi$ . Sin embargo, a menudo redondeamos el decimal a 3,14 para representar pi. Entonces, multiplicamos 256 por 3,14 para obtener un área de superficie de 803,84 centímetros cuadrados para esta esfera. Recuerda que siempre usamos unidades cuadradas para medir el área, ya que la medimos en dos dimensiones.

Encuentra el área de superficie de cada esfera.

Ejemplo A

Una esfera con un radio de 5 pulgadas.

Solución: $314 \ in^2$

Ejemplo B

Una esfera con un radio de 8 metros.

Solución: $803.84 \ m^2$

Ejemplo C

Una esfera con un radio de 12 pies.

Solución: $1808.64 \ ft^2$

Ahora volvamos al problema al principio de la Sección.

Este problema nos pregunta sobre la cobertura de la superficie de una piñata , por lo que necesitamos calcular su área de superficie. El problema nos dice que el radio de la piñata es de 2,4 pies, por lo que podemos introducir esto en la fórmula del área y resolver.

$SA & = 4 \pi r^2\\\SA & = 4 \pi (2.4^2)\\\SA & = 4 (5.76) \pi\\\SA & = 23.04 \pi\\\SA & = 72.35 \ ft^2$

La piñata tiene un área de superficie de 72,35 pies cuadrados cuando aproximamos pi como 3,14, por lo que esta es la cantidad de papel que necesita Joe para cubrir una.

Pero Joe hizo cuatro piñatas, por lo que debemos multiplicar esta respuesta por 4.

$72.35(4) = 289.4 \ sq. feet$

Esta es la respuesta final.

Vocabulario

Área de Superficie: Medida de la cubierta exterior de un sólido.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que intentes resolverlo.

Esta esfera tiene un radio de 8,5 pulgadas. ¿Cuál es el área de superficie de la esfera?

Solución

Para calcular esto, podemos usar la fórmula para encontrar el área de superficie de una esfera, sustituyendo el valor del radio.

$SA & = 4 \pi r^2\\\SA & = 4 \pi (8.5^2)\\\SA & = 4 (72.25) \pi\\\SA & = 289 \pi\\\SA & = 907.46 \ in^2$

Esta es la respuesta.

Repaso en Video

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*Solo en Inglés

Práctica

Instrucciones: Encuentra el área de superficie de cada esfera. Usa 3,14 para aproximar pi.

Una esfera con un radio de 4 pulg.
Una esfera con un radio de 2 pulg.
Una esfera con un radio de 3.5 pies.
Una esfera con un radio de 6.7 pulg.
Una esfera con un radio de 12 cm.
Una esfera con un radio de 1.6 pies.
Una esfera con un radio de 9 m.
Una esfera con un diámetro de 9 m.
Una esfera con un diámetro de 18 pulg.
Una esfera con un diámetro de 10 cm.
Una esfera con un diámetro de 12 m.
Una esfera con un diámetro de 13 pies.
Una esfera con un diámetro de 15 m.

¿Cuál es el área de superficie de una esfera cuyo diámetro es 22 centímetros?
Bruce está haciendo en su clase de arte una escultura que está hecha de 3 esferas. Cada esfera tiene un radio de 2,3 pies. El pintará las esferas con pintura acrílica azul. Si cada botella de pintura cubre 20 pies cuadrados, ¿Cuántas botellas necesitará comprar Bruce?

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