Volumen de las Esferas

En esta sección, calculará el volumen de una esfera.

¿Alguna vez has calculado el volumen? Analicemos este problema.

María tiene un pisapapeles, el cual es una esfera de vidrio. La esfera está llena de un líquido rojo brillante. Si el diámetro del pisapapeles es de 6 pulgadas, ¿cuánto líquido rojo contiene?

Sabrás cómo resolver este problema al final de la Sección.

Orientación

El Volumen es la medida del espacio tridimensional que ocupa una figura. Podemos pensar que es cuanto espacio “ocupa” la figura.

En las esferas, encontrar el volumen es un poco complicado, porque no tiene superficies planas.

Para encontrar el volumen de las esferas, podemos usar pirámides. Imagina una pirámide con su base en la superficie de la esfera y su vértice superior como el centro de la esfera. El radio de la esfera puede ser la altura de la pirámide.

La pirámide ocupa una porción del volumen de la esfera. Si podemos llenar la esfera con pirámides como esta, conoceríamos el volumen de la esfera. Sería igual a los volúmenes de todas las pirámides juntas. ¿Cuántas pirámides haría falta para llenar una esfera? Eso depende del área de superficie de la esfera. Podemos combinar el área de superficie de una esfera con la fórmula de volumen de una pirámide para calcular el volumen de todas las pirámides dentro de la esfera.

Veamos cómo esta información puede darnos la fórmula para encontrar el volumen de una esfera.

$V = \frac{1}{3} Bh$

La fórmula del volumen para una pirámide, donde $B$ epresenta el área de su base

$V = \frac{1}{3} \times \text{surface area of sphere} \times r$

El área de superficie de la esfera es igual al área de las bases de todas las pirámides. La altura de la pirámide es igual al radio de la esfera, por lo que sustituimos $r$ por $h$ .

$V = \frac{1}{3} \times 4 \pi r^2 \times r$

Podemos simplificar la fórmula al combinar términos semejantes.

$V = \frac{4}{3} \pi r^3$

La fórmula para encontrar el volumen de una esfera es $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ .

Escribe esta fórmula en tu cuaderno.

Nuevamente, todo lo que necesitamos es el radio de la esfera. Introducimos el valor de $r$ en la fórmula y despeja $V$ , el volumen.

Probemos esto.

Encuentra el volumen de la siguiente esfera.

Sabemos que el radio de la esfera es 6 metros, por lo que introducimos este valor en $r$ y resolvemos.

$V & = \frac{4}{3} \pi r^3\\\V & = \frac{4}{3} \pi (6^3)\\\V & = \frac{4}{3}(216) \pi\\\V & = 288 \pi$

Podemos dejar el volumen como $288 \pi$ , o podemos usar 3,14 para aproximar una respuesta. Esto nos da $288 \times 3.14 = 904.32 \ cubic \ meters$ . Recuerda que medimos el volumen en tres dimensiones, por lo que usamos unidades cúbicas.

Encuentra el volumen de cada esfera. De ser necesario, puedes redondear a la centésima más cercana.

Ejemplo A

Una esfera con un radio de 4 pulgadas.

Solución: $267.95 \ in^3$

Ejemplo B

Una esfera con un radio de 5 ft.

Solución: $523.33 \ ft^3$

Ejemplo C

Una esfera con un radio de 3,5 pulgadas.

Solución: $179.50 \ in^3$

Ahora volvamos al problema al principio de la Sección.

Primero que todo, ¿qué es lo que nos pide encontrar el problema? Debemos encontrar cuanto líquido tiene el pisapapeles. Esta cantidad será el volumen del pisapapeles, por lo que debemos usar la fórmula de volumen. Ahora veremos si conocemos el radio del pisapapeles. Sabemos que el diámetro es 6 pulgadas. Por tanto, el radio es $6 \div 2 = 3 \ inches$ . Ahora podemos introducir esto en la fórmula del volumen y resolver.

$V & = \frac{4}{3} \pi r^3\\\V & = \frac{4}{3} \pi (3^3)\\\V & = \frac{4}{3} (27) \pi\\\V & = 36 \pi$

La esfera tiene un volumen de $36 \pi$ . Podemos aproximar un valor numérico si usamos 3,14 como pi. Esto nos da un volumen de $36 \times 3.14 = 113.04$ pulgadas cúbicas.

Vocabulario

Esfera: Figura sólida perfectamente redonda donde todos sus puntos son equidistantes de un punto central.

Volumen: Capacidad de contención de una figura sólida.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que intentes resolverlo.

Encuentra el volumen de la siguiente esfera.

Solución

Usemos la fórmula para encontrar el volumen de una esfera dado el valor de su radio.

$V & = \frac{4}{3} \pi r^3\\\V & = \frac{4}{3} \pi (8^3)\\\V & = \frac{4}{3} (512) \pi\\\V & = 682.67 \pi$

Esta es nuestra respuesta.

Repaso en Video

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

*Solo en Inglés

Volume of a Sphere

Práctica

Instrucciones: Encuentra el volumen de cada esfera. Cuando sea necesario, puedes redondearlo al centésimo más cercano.

Una esfera con un radio de 3 m.
Una esfera con un radio de 2,5 m.
Una esfera con un radio de 5 pulg.
Una esfera con un radio de 6 pulg.
Una esfera con un radio de 7 pies.
Una esfera con un radio de 4,5 cm.
Una esfera con un radio de 5,5 m.
Una esfera con un radio de 13 mm.
Una esfera con un diámetro de 8 pulg.
Una esfera con un diámetro de 10 pies.
Una esfera con un diámetro de 3 m.
Una esfera con un diámetro de 13 m.
Una esfera con un diámetro de 22 pies.

Instrucciones: Usa lo que has aprendido para resolver cada problema.

Una esfera tiene un diámetro de 12 pies. ¿Cuál es su volumen?
Kelly tiene una botella de perfume en forma de esfera. El diámetro de la botella es 6 pulgadas. ¿Cuánto perfume queda en la botella de Kelly si la botella está medio llena?