Resolución de las reglas de la función

Aquí, resolverás la regla de una función encontrando los valores correspondientes a un valor dado.

¿Alguna vez has jugado a los bolos? Mira este problema sobre un paseo de curso.

La clase de séptimo grado está planeando una salida a terreno. Hay dos propuestas: ir a jugar a los bolos o ir al omni-teatro. Para tomar la mejor decisión los estudiantes deben investigar un poco.

Casey y su amigo Max están a cargo de cotizar en las distintas boleras para encontrar el mejor precio. Descubren una bolera que está muy cerca de la escuela y que tiene una muy buena oferta. Esta bolera cobra una tarifa fija por los zapatos además de un precio por partida.

"Me pregunto cuántas partidas podremos jugar", dijo Casey a Max.

"No lo sé, pero eso se reflejará en el costo", respondió Max.

"Averigüémoslo. ¿Cuál es el precio por los zapatos?", preguntó Casey.

"El precio por los zapatos es de $2 y cada partida cuesta $3", dijo Max.

Los dos niños tomaron un trozo de papel y comenzaron a calcular el total basados en la cantidad de partidas.

Para resolver este problema tendrás que comprender las funciones. Una función es cuando una variable es afectada por otra. En este caso, hay un precio por los zapatos y un precio por partida. El costo total por estudiante dependerá del número de partidas. El costo es una función de las partidas. Aprende lo más posible y podrás calcular los precios para el final de esta sección.

Orientación

¿Recuerdas cómo identificar una función, una relación, el rango y el dominio?

Una función es una relación en la que cada miembro del dominio esta pareado con solo un miembro del rango. En otras palabras, un número en el dominio no puede tener dos valores en el rango. Cuando vemos los valores en el dominio y el rango podemos saber si la relación es una función o no.

Una relación es un grupo de pares ordenados.

Los valores del dominio y el rango ayudan a comprender la relación.

El dominio está compuesto por los valores de la primera columna o la coordenada $x$ de la relación. El rango está compuesto por la segunda columna o el valor $y$ de la relación.

Una de las mejores ventajas de las funciones es que pueden ser aplicadas a todo tipo de situaciones. Solo recuerda que para que una relación sea una función los valores del dominio tienen que ser asignados a un solo valor del rango. Una manera de analizar las funciones es usar una tabla de funciones.

Una tabla de funciones es una tabla de valores en donde el valor de entrada es el dominio y el valor producto es el rango.

Mira la tabla a continuación.

Valor del dominio	Valor del rango
3	6
4	8
5	11
6	12

Aquí hay una función que tiene dos grupos de valores. El valor de la izquierda es el dominio y el valor de la derecha el rango. Si fuéramos a escribir esta función como pares ordenados, tendríamos que usar la columna izquierda para el valor de $x$ y la columna derecha como el valor de $y$ .

Escribamos esta relación: (3, 6) (4, 8) (5, 10) (6, 12). Hay una relación entre los valores del dominio y los valores del rango. Podemos decir que el rango fue creado cuando se completó alguna operación u operaciones con el valor del dominio.

¡El valor del rango es resultado de una operación con el valor del dominio!

¿Qué pasó con la el valor del dominio para que igualara el valor del rango?

Si piensas en esto verás que el valor de $x$ fue multiplicado por 2 o doblado para igualar el valor de $y$ Podemos escribir esto como una ecuación.

$y = 2x$

Esto dice que el valor de $y$ se crea cuando el valor $x$ es multiplicado por 2.

Esto se denomina regla de función. Puede ser escrita en palabras o en forma de ecuación. Esta regla de función te dice qué operación u operaciones realizar con los valores para obtener el valor del rango.

Ahora que sabes cómo identificar la regla de una función, apliquemos el conocimiento.

Usa la regla de la función $3x$ para calcular el valor del dominio para completar cada valor del rango.

Valor del dominio	Valor del rango
2
3
4
5

No todos los valores de dominio serán así de simples, pero este ejemplo te permitirá practicar un poco la aplicación de una regla de función. Sabemos que la regla de la función es $3x$ , por lo que podemos tomar cada valor del dominio y multiplicarlo por 3. Esto nos dará el valor correcto para el rango.

Valor del dominio	Valor del rango
2	6
3	9
4	12
5	15

Puedes ver que la regla de la función fue aplicada a cada valor del dominio y que el valor del rango que se obtiene completa la tabla.

Mira cada lista de valores. Escribe el valor de rango para cada lista usando $2x-2$ como la regla de función.

Ejemplo A

$4, 5, 7, 9$

Solución: $6, 8, 12, 16$

Ejemplo B

$-3, 4, -5, 7$

Solución: $-8, 6, -12, 12$

Ejemplo C

$-1, -9, 11, 12$

Solución: $-4, -20, 20, 22$

Ahora volvamos al problema del comienzo de esta sección.

Lo primero que debemos hacer es escribir una ecuación que represente la información dada. Sabemos que cada partida cuesta $3 y que el costo fijo de los zapatos es $2. El costo variable es el costo aplicado al número de partidas que se juegue. El número de partidas es nuestra variable.

$C(g) = 3g + 2$

Esta ecuación significa que el costo $c$ es una función del número de partidas más la tarifa de $2 por los zapatos.

Partidas jugadas	Costo ($)
2	8
4	14
5	17
6	20

Los datos muestran que cuando el número de partidas incrementa en 2, el costo incrementa en $6. Basándonos en el número de partidas, el costo debería oscilar entre los $8 y $20, a pesar de que es improbable que algún estudiante tenga el tiempo para jugar 6 partidas.

Vocabulario

Relación: Grupo de pares ordenados

Dominio: Valor de $x$ en una tabla o función

Rango: Valor de $y$ en una tabla o función

Función: Situación en la que cada valor del dominio está conectado solo a un valor en el rango.

Regla de función: Operación u operaciones realizadas con el valor del dominio y que luego iguala el valor del rango.

Entrada: Valor de $x$ o dominio de una función.

Producto: Valor de $y$ o rango de una función.

Práctica guiada

Aquí tienes un ejemplo para practicar.

Usa la regla de función $2x + 1$ para calcular cada valor de dominio. Completa la tabla

Valor de dominio	Valor de rango
$-2$
$-1$
${\color{white}-}0$
${\color{white}-}1$
${\color{white}-}2$

Solución

Esta tabla tiene valores positivos y negativos, pero seguiremos el mismo procedimiento. Simplemente sustituye el valor de $x$ en la regla de función y calcula el valor resultante.

$2(-2)+1 &=-4+1=-3\\\2(-1)+1 &=-2+1=-1\\\2(0)+1 &=0+1=1\\\2(1)+1 &=2+1=3\\\2(2)+1 &=4+1=5$

Ahora podemos incluir los valores en la columna del rango de nuestra función.

Valor de dominio	Valor de rango
$-2$	$\boldsymbol{-3}$
$-1$	$\boldsymbol{-1}$
${\color{white}-}0$	${\color{white}-}\boldsymbol{0}$
${\color{white}-}1$	${\color{white}-}\boldsymbol{1}$
${\color{white}-}2$	${\color{white}-}\boldsymbol{3}$

Esta es nuestra respuesta. Nuestro trabajo ha terminado.

Repaso en video

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

Introduction to Funcións

*Este video solo está disponible en inglés

Práctica

Instrucciones: Para los ejercicios 1 a 5, encuentra cada resultado si la regla de la función es $3x+2$

Número del problema	Valor de dominio	Valor de rango
1.	3
2.	5
3.	6
4.	9
5.	11

Instrucciones: Para los ejercicios 6 a 8, encuentra cada resultado si la regla de la función es $4x$

Número del problema	Valor de dominio	Valor de rango
6.	-3
7.	-4
8.	0
9.	1
10.	2

Instrucciones: Para los ejercicios 11 a 15, encuentra cada resultado si la regla de la función es $-3x$

Número del problema	Valor de dominio	Valor de rango
11.	4
12.	5
13.	7
14.	9
15.	10

Instrucciones: Responde las preguntas sobre funciones.

Un pastelero necesita comprar suficiente masa para sus galletas. Compra una libra de masa por cada veinte galletas que horneará. Usa la función $d(c)=\frac{c}{20}$ donde $c$ es el número de galletas y $d$ son las libras de masa que debe comprar. Identifica cuál variable es el dominio y cual variable es el rango.
Calcula la función $f(x)=2x+7$ cuando el dominio es {-3, -1, 1, 3}.
Calcula la función $f(x)=\frac{2}{5}x-6$ cuando el dominio es {-10, -5, 0, 5, 10}.
Calcula la función $f(x)=3x-1$ cuando el dominio es {5, 6, 7, 8, 9}.
Calcula la función $f(x)=x-9$ cuando el dominio es {1, 2, 3, 4, 5}.

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