Encontrar soluciones de dos variables a una ecuación
Aquí, reconocerás un par ordenado como solución de dos variables para una ecuación y usarás tablas para encontrar dichas soluciones. Usarás la forma de función y la forma estándar.
¿Alguna vez has ido a un omni-teatro? Mira este problema.
Tasha y Uniqua piensan que su curso, una clase de séptimo grado, deberían ir al omni-teatro para ver una película sobre la selva tropical. Luego de llamar al Museo de Ciencias donde se ubica el cine, recopilan la siguiente información.
El costo de una entrada es de $5, pero hay un costo adicional del servicio de $2 por entrada.
"Es mucho dinero", dice Tasha.
"Bueno, depende de cuántos estudiantes irán realmente", dice Uniqua.
"Averigüémoslo. Hay 22 estudiantes en nuestra clase y podrían ir de 22 a 18 estudiantes, dependiendo del número de ausentes. Ahora necesitamos hacer los cálculos", dice Tasha sacando un trozo de papel.
Tendrás que usar una función para resolver este problema. Para encontrar el rango de los precios de este paseo tendrás que escribir una ecuación y crear una tabla para mostrar cómo el costo cambia en base al número de estudiantes que asisten al paseo. Para el final de esta sección sabrás cómo resolver este problema.
Orientación
¿Recuerdas cómo identificar una función y una regla de función?
Una función es una relación en la que cada miembro del dominio esta pareado con solo un miembro del rango.
En otras palabras, un número en el dominio no puede tener dos valores en el rango. Cuando vemos los valores en el dominio y el rango podemos saber si la relación es una función o no.
Las funciones pueden ser representadas con valores en una tabla. Una tabla de funciones es una tabla de dominio/rango en donde el valor de la entrada es el dominio y el valor producto es el rango.
Hay reglas de función que trabajan con las tablas. ¿Sabes lo que es una regla de función?
Una regla de función puede ser escrita en palabras o en forma de ecuación. La regla de función te dice qué operación u operaciones realizar con el dominio para obtener el rango.
También puedes empezar con las ecuaciones o reglas y luego ver cómo estas ecuaciones pueden ayudarnos a encontrar los pares ordenados.
Comencemos pensando en la siguiente ecuación.
Es una ecuación verdadera. Probablemente recuerdes ecuaciones como esta de tus días en la escuela primaria. Sin embargo, podemos considerar esta ecuación de una nueva manera. Aquí tenemos la afirmación de que tres más dos es iguala a cinco. Bueno, hay otros valores que también podrían sumarse para obtener 5. Podríamos sumar números positivos y negativos para obtener cinco. Por lo tanto, hay muchos valores posibles que pueden ser sumados para obtener cinco. Cambiemos esta ecuación para que esto sea más claro.
Ahora hemos usado los valores
y
para mostrar que tenemos dos valores diferentes que pueden ser sumados para igualar
.
Piensa en los pares ordenados. Un
par ordenado
tiene un valor
y un valor
.
Si quisiéramos encontrar valores para hacer que la ecuación sea verdadera, entonces también podríamos decir que teníamos pares ordenados que harían de esta una ecuación verdadera.
Una respuesta para esta ecuación es el par ordenado (2,3) donde el valor de
es 2 y el valor de
es 3. La suma es igual a cinco.
Veamos esta situación.
Encuentra tres soluciones para la ecuación
y escríbelas en pares ordenados.
de forma que el par ordenado es (2, 8).
de forma que el par ordenado es (3, 6).
de forma que el par ordenado es (-5, 22).
Cuando una ecuación está en escrita en una forma donde
e
se suman para igualar un tercer valor se denomina
forma estándar
. Podemos decir que la forma estándar es
.
Escribe la definición de forma estándar y su ecuación en tu cuaderno.
Has aprendido a identificar una ecuación en forma estándar. También podemos escribir ecuaciones en
forma de función
.
Se denomina forma de función cuando el valor de
es igual al valor del resto de la ecuación.
Esta es una ecuación en forma de función. Podemos ver que el valor de
es una función de
más uno. Esto significa que el valor de
cambiará en base al valor de
También podemos usar
para mostrar que el valor de
es una función del resto de la ecuación. Se usa
para sustituir el valor de
.
Exactamente. Explicaremos esto con más claridad. Sabemos que el valor de
depende del resto de la ecuación, incluyendo cualquier valor que sustituyamos por
. Entonces podemos decir que
es una función del resto de la ecuación. Por lo tanto, podemos decir también que
también es dependiente del resto de la ecuación.
es lo mismo que
.
Analicemos la situación.
Para trabajar con esta ecuación tenemos que crear una tabla de valores. Solo así sabremos qué valor de
se basa en qué valores que sustituiremos para
.
|
|
|
|---|---|
| 1 | 4 |
| 2 | 7 |
| 3 | 10 |
| 4 | 13 |
| 5 | 16 |
Ahora tenemos los valores para
e
.
También puedes notar que desde que tenemos estos dos valores, también tenemos un grupo de pares ordenados que han sido creados en forma de tabla.
Escribe cada ecuación en forma de función.
Ejemplo A
Solución:
Ejemplo B
Solución:
Ejemplo C
Solución:
Ahora volvamos al problema del comienzo de esta sección.
El problema puede ser resuelto primero escribiendo una ecuación. Para hacerlo, necesitamos ver la información dada.
Total cost
Número de estudiantes que puede variar.
$2 es el costo adicional por el servicio.
$5 el costo por entrada
Ahora podemos crear nuestra tabla de valores basándonos en el rango de estudiantes que irán. Uniqua y Tasha piensan que irán entre 22 a 18 estudiantes al paseo.
|
|
|
|---|---|
| 22 | $112 |
| 21 | $107 |
| 20 | $102 |
| 19 | $97 |
| 18 | $92 |
Vocabulario
- Par ordenado
-
Valores de
y
que pueden ser encontrados en una tabla o usados para graficar puntos o una línea en el plano de coordenadas.
- Forma estándar
-
Forma de una ecuación
- Forma de función
-
Forma de una ecuación
Práctica guiada
Aquí tienes un ejemplo para practicar.
Reescribe esta ecuación en forma de función.
Solución
Aquí tenemos una ecuación en forma estándar. Necesitamos reescribir esta ecuación en forma de función. Para hacerlo, tenemos que mover el uno negativo con el
y el
al lado opuesto del signo igual. Tenemos que hacerlo usando las
operaciones inversas.
Recuerda que una operación inversa es la operación opuesta.
Una vez que tenemos la ecuación en forma de función podemos usar una tabla de valores para encontrar un grupo de pares ordenados.
|
|
|
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 5 |
| 2 | 9 |
| 3 | 13 |
Ahora tenemos un grupo de pares ordenados para la ecuación
.
Repaso en video
Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)
Linear Equations in Standard Form
Este video solo está disponible en inglésPráctica
Instrucciones:
Encuentra 4 soluciones para la función
. Escribe tus respuestas como pares ordenados.
- .
- .
- .
- .
Instrucciones:
Encuentra 4 soluciones para la función
. Escribe tus respuestas como pares ordenados.
- .
- .
- .
- .
Instrucciones: Escribe cada ecuación en forma estándar.
