Encontrar la pendiente de una línea

Aquí, encontrarás la pendiente de una línea e identificarás distintos tipos de pendientes

¿Sabes la diferencia entre una pendiente positiva y una pendiente negativa? ¿Cómo puedes saber si la pendiente de una línea será positiva o negativa mirando la ecuación?

Para responder estas preguntas tendrás que comprender la pendiente, ser capaz de identificar una y saber cómo identificar distintos tipos de pendiente.

Sabrás cómo responder estas preguntas para el final esta sección.

Orientación

Sabrás cómo responder estas preguntas para el final esta sección. $x$ e $y$ Pero, ¿Y la pendiente de la recta? Si alguna vez has ido a esquiar sabrás que lo más importante de una pendiente de esquí es qué tan empinada es. En matemáticas, usamos números para cuantificar el ángulo de inclinación de forma que puedas representar los gráficos de forma más precisa, predecir su movimiento y compararlo con otros.

Cuando tenemos una recta que ha sido graficada en el plano coordenado, podemos calcular el ángulo de inclinación de la recta. En matemáticas llamamos a esta inclinación la pendiente de la recta. La pendiente de la recta indica la inclinación de esta.

Analicemos la situación.

Ahora queremos calcular la inclinación de esta recta. Queremos calcular la pendiente. La pendiente de la línea puede calcularse usando una proporción. Recuerda que una proporción compara dos cantidades. En este caso vamos a comparar la elevación de la recta en comparación al recorrido de la recta.

$Slope=\frac{rise}{run}$

Aquí hay una gráfica en donde se destaca la pendiente.

Puedes ver que la elevación es 2 y que el recorrido es 1. Va hacia arriba por lo que es una pendiente positiva. Podemos escribirlo con la siguiente proporción.

$Slope=\frac{2}{1}=2$

La pendiente de esta recta es 2.

Escribe esta proporción en tu cuaderno.

A veces no tendrás un gráfico que mirar. También podemos calcular la pendiente de una recta cuando nos han dado dos grupos de pares ordenados. Entonces podemos usar una fórmula para calcular la pendiente de la recta.

$Slope=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Escribe esta fórmula en tu cuaderno.

Aquí hay otra.

Calcula la pendiente de una recta que pasa a través de los puntos (0,-2) y (1,2).

Para empezar, incluimos los valores de estas coordenadas en nuestra fórmula. No importa que valores uses para $y_2$ o para $y_1$ La clave es que seas consistente con tu decisión. Así es cómo estos valores pueden ser incluidos en la fórmula.

$Slope &=\frac{2--2}{1-0}\\\Slope &=4$

La pendiente de esta recta es 4.

Nota: A veces también verás la letra “ $m$ ” en lugar de la palabra "pendiente".

Hay diferentes tipos de pendientes también.

Mira esta gráfica de una pendiente positiva.

También podemos ver cómo debería ser un gráfico con una pendiente negativa.

Nota que la recta va hacia abajo, de izquierda a derecha. Al mirarla, podemos ver que es negativa. También podemos ver la pendiente de la recta. Mira estas dos flechas para ver cómo es una pendiente negativa.

También podemos tener rectas con pendiente cero.

Mira esta gráfica.

La recta no sube ni baja. Tiene una pendiente cero.

¿Y con una recta vertical?

Ahora usa la fórmula de la pendiente para la recta que pasa a través de los puntos (2, 3) y (2, -3).

${x_1}=2,{y_1}=3,{x_2}=2,{y_2}=-3$

$m &=\frac{{y_2}-{y_1}}{{x_2}-{x_1}}\\\m &=\frac{-3-3}{2-2}\\\m &=\frac{-6}{0}$

La pendiente en este caso es indefinida ya que tiene denominador cero, $m$ es indefinida. Grafica esta recta.

¡La recta es vertical!

Todas las rectas verticales tienen una pendiente indefinida.

Hemos visto cuatro tipos de pendientes.

Pendienetes Positivas Se elevan hacia la derecha		Pendientes Negativas Se elevan hacia la izquierda
Pendiente Cero Lineas Horizontales		Pendientes Indefinidas Lineas Verticales

Pendienetes Positivas

Se elevan hacia la derecha

Pendientes Negativas

Se elevan hacia la izquierda

Pendiente Cero

Lineas Horizontales

Pendientes Indefinidas

Lineas Verticales

Pero aún tenemos que comparar su inclinación. Si piensas en las pendientes de esquí sabes que hay pendientes más inclinadas que otras. En la gráfica a continuación también verás que algunas rectas están más inclinadas o tienen una pendiente mayor que las demás.

Viendo estas rectas podemos determinar que algunas de ellas están más inclinadas que otras. En el ejemplo anterior, las rectas con una pendiente mayor tienen una inclinación superior que el de las rectas con una pendiente menor.

La pendiente de 5 es > que la pendiente de $\frac{1}{2}$

A medida que sigas trabajando con pendientes verás cómo la inclinación de una recta puede ser medida y cómo se puede determinar la pendiente mirando la ecuación de una recta.

Encuentra la pendiente de cada recta usando cada grupo de pares ordenados.

Ejemplo A

$(0,3)(1,4)$

Solución: Pendiente de 1

Ejemplo B

$(-1,2)(-3,6)$

Solución: Pendiente de -2

Ejemplo C

$(4,-2)(3,1)$

Solución: Pendiente de -3

Ahora volvamos al problema del comienzo de esta sección.

Cuando el valor de x es positivo, la pendiente de la recta será positiva. Cuando el valor de x es negativo, la pendiente también será negativa. Cuando se grafica, la pendiente positiva es una recta que va hacia arriba, de izquierda a derecha. Cuando se grafica, la pendiente negativa es una recta que va hacia abajo, de izquierda a derecha.

Vocabulario

Pendiente: Inclinación de una recta, calculada con la proporción $\frac{rise}{run}$ .

Proporción: Comparación entre dos cantidades.

Pendiente positiva: Pendiente que va hacia arriba, de izquierda a derecha.

Pendiente negativa: Pendiente que va hacia abajo, de izquierda a derecha.

Pendiente cero: Pendiente de una recta horizontal.

Pendiente indefinida: Pendiente de una recta vertical

Práctica guiada

Aquí tienes un ejemplo para practicar.

Ahora usa la fórmula de la pendiente para la recta que pasa a través de los puntos (1, 3) y (-1, -3).

${x_1}=1,{y_1}=3,{x_2}=-1,{y_2}=-3$

$m &=\frac{{y_2}-{y_1}}{{x_2}-{x_1}}\\\m &=\frac{1-3}{-1--3}\\\m &=\frac{-2}{2}$

La pendiente de esta recta es $-1$ .

Repaso en video

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

The Slope of a Line

*Este video solo está disponible en inglés

Práctica

Instrucciones: Responde verdadero o falso para cada pregunto a continuación.

Verdadero o falso. La ecuación de una recta siempre es lineal.
Verdadero o falso. Una ecuación lineal se mostrará como una línea recta en una gráfica.
Verdadero o falso. El intercepto $x$ es donde la recta cruza el eje $y$ .
Verdadero o falso. El intercepto $y$ es donde la recta cruza el eje $y$ .
Verdadero o falso. Una recta vertical tiene una pendiente indefinida.
Verdadero o falso. Una recta horizontal tiene una pendiente 0.
Verdadero o falso. La pendiente es la distancia que la recta recorre en una gráfica de coordenadas.
Verdadero o falso. La pendiente se encuentra con una proporción.
Verdadero o falso. Puedes encontrar la pendiente de una recta si te han dado un grupo de puntos.
Verdadero o falso. Necesitarás dos grupos de puntos por los que pasa una recta para encontrar la pendiente.

Instrucciones: Encuentra la pendiente de una recta que pasa a través de los siguientes pares de puntos.

(2, 3) (3, 4)
(4, 5) (2, 3)
(2, 1) (-1, 3)
(3, 1) (4, 3)
(5, 7) (3, 6)
(3, 0) (4, 1)
(6, 4) (2, 7)
(2, 0) (0, 1)
(6, 1) (1, 6)
(4, 4) (5, 0)

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