Variación directa y variación inversa

Aquí, identificarás y comprenderás la variación directa y la variación inversa.

¿Alguna vez has pensado sobre cómo una variable puede afectar a otra? Mira este problema.

Luego de mucho debate y discusión, una clase de octavo grado decide ir al omni-teatro. La presentación sobre la selva fue fascinante. Muchos de los estudiantes estaban orgullosos de la decisión que habían tomado. Si bien la película mostró los animales e insectos de la selva, también se centró en la ecología, los científicos y otras personas que trabajan para salvar dichos lugares.

Cuando volvieron a la escuela el sr. Thomas los hizo hablar sobre las diferentes partes que les interesaron.

"Me encantó el viaje en bus que hicieron los científicos para llegar a la selva. Me impresionó el hecho de que el bus podía viajar a través de todas esas carreteras llenas de baches y no sufrir un accidente", comentó Mark.

"Sí, si lo piensas, fue genial ver el viaje en bus desde la perspectiva del omni-teatro. Digo, siento como si hubiera podido caerme por el borde del camino en algunos momentos", añadió Karen.

Otros sonrieron también. El sr. Thomas aprovechó la oportunidad para escribir el siguiente problema en la pizarra.

Un bus sale de Boston a una velocidad constante de 60 millas por hora. Puedes hacer una tabla que muestre la distancia, $d$ , en millas que el tren ha viajado luego de $h$ horas.

Esta es tu tarea. Estas secciones te ayudarán con el problema del sr. Thomas.

Orientación

¿Sabes cuándo una variable puede afectar a otra variable? ¿Sabías que esto ocurre frecuentemente en situaciones del mundo real?

Analicemos la situación.

Un tren sale de Boston a una velocidad constante de 60 millas por hora. Puedes hacer una tabla que muestre la distancia, $d$ , en millas que el tren ha viajado luego de $h$ horas.

$h$	$d$
0	0
3	180
6	360
9	540
12	720

Esta relación se puede mostrar en la función $d = 60 h$ .

Este tipo de función se denomina variación directa .

Es una ecuación lineal que puede ser escrita en la forma $y=kx$ , donde $k \neq 0$ .

Esta es una función lineal donde los interceptos de $x$ e $y$ siempre son cero-siempre pasa por el origen. La variable $k$ se llama constante de variación que también es la pendiente de la recta. En el caso anterior, la distancia varía directamente con el tiempo porque incrementa en proporción a este. En otras palabras, si el tiempo se duplica, la distancia se duplica, y así sucesivamente.

En una variación directa, mientras una variable incrementa, la otra variable lo hace también. En una variación directa para cualquier par ordenado $(x, y), k=\frac{y}{x}$ ,.

Buena pregunta. Esto se denomina variación inversa.

Una variación inversa puede ser escrita en la forma $y=\frac{k}{x}$ donde $k$ es la constante de variación como en las variaciones directas, pero el producto de los pares ordenados es $k$ .

Una avión volando es un ejemplo de una variación inversa. Cuando la velocidad del avión aumenta, el tiempo que el avión pasa en el aire disminuye.

Mira cada situación y determina si representan una variación inversa o una variación directa.

Ejemplo A

Un auto en una carrera. La relación entre velocidad y tiempo.

Solución: Variación inversa

Ejemplo B

El precio de un pasaje de avión que incrementa año a año su valor.

Solución: Variación directa

Ejemplo C

El número de millas recorridas en relación a la distancia.

Solución: Variación directa

Ahora volvamos al problema del comienzo de esta sección.

Aquí tenemos una tabla y la gráfica que representa los datos.

$h$	$d$
0	0
3	180
6	360
9	540
12	720

Esta relación también se puede mostrar en la función $d = 60 h$ .

Vocabulario

Variación directa: Situación en la que a medida que una variable aumenta, la otra variable lo hace también.

Variación inversa: Situación en la que a medida que una variable aumenta, la otra variable disminuye.

Práctica guiada

Aquí tienes un ejemplo para practicar.

La ingesta calórica de un colibrí varía directamente con la cantidad de néctar que consume. Por cada gramo que el colibrí consume, ingiere 5 calorías. Escribe una ecuación que muestre la variación directa. Identifica $k$ . Luego crea una tabla.

Solución

Primero, piensa en lo que está siendo afectado. Por cada gramo de néctar que el colibrí consume, ingiere 5 calorías. Las 5 calorías representan el valor de $k$ Aquí hay una ecuación para esta situación.

$c=5g$

Donde $c$ es el total de calorías y $g$ representa los gramos.

Ahora podemos crear una tabla.

$h$	$d$
0	0
1	5
2	10
3	15

Esta es nuestra respuesta.

Repaso en video

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

Direct and Inverse Variation

*Este video solo está disponible en inglés

Práctica

Instrucciones: Determina si cada situación descrita es un ejemplo de variación directa o variación indirecta.

1. El tren viajaba a una velocidad de 80 millas por hora. El número de millas incrementó con cada hora que el tren seguía en marcha.

2. El tren viajaba a una velocidad de 80 millas por hora, luego aumentó su velocidad. El número de horas que se pasaron dentro del tren disminuyó con el aumento en la velocidad.

3. Mary está entrenando para una maratón. Corre muchas horas cada semana. Luego de unas pocas semanas de entrenamiento, nota que su velocidad ha incrementado.

4. Kevin ha trabajado para la misma empresa por varios años. Ha recibido un aumento cada año que ha trabajado en la empresa.

5. Joseph también ha trabajado para la misma empresa, pero su salario ha disminuido cada año.

6. Kelly pasó más horas que nunca estudiando. Estaba sorprendida cuando recibió una calificación inferior que la que tuvo en pruebas pasadas.

7. Jeff está a dieta. Sabe que el número de calorías que quema está directamente relacionado con el número de horas que ejercita.

8. Seth y Sarah pasaron mucho tiempo comiendo cuando se fueron de vacaciones. Cuando acabaron las vacaciones, ambos notaron que habían subido 5 libras de peso.

9. El entrenamiento de Mary se ha intensificado. Ha estado registrando el tiempo que le toma correr una milla. Nota que entre más entrena, más rápido es su tiempo.

10. A lo largo del tiempo, el precio de un sello postal ha aumentado un par de centavos cada año.

Instrucciones: Responde verdadero o falso a cada pregunta.

11. En una variación directa, un factor aumenta a medida que el otro factor lo hace también.

12. En una variación inversa, un factor aumenta pero el otro factor disminuye.

13. Cuando ves la letra $k$ en un problema puedes pensar en una variable constante.

14. Si un avión asciende y luego desciende rápidamente, es un ejemplo de variación directa.

15. Ejercitar más y bajar de peso es un ejemplo de variación directa.

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