Escritura de ecuaciones lineales

Aquí, aprenderás a escribir ecuaciones lineales dados dos puntos de una recta, los interceptos de , $x$ e $y$ la pendiente y el intercepto de $y$ o una tabla de valores.

¿Alguna vez has estudiado las plantas de plátano? Mira este problema.

El sr. Thomas dirige la clase sobre las selvas. Los estudiantes han estado investigando y ahora están listos para hablar sobre sus descubrimientos

"La vegetación de la selva era bastante interesante", comentó Carmen en la clase del sr. Thomas.

"Habían tantas cosas diferentes creciendo", agregó Mark

Los estudiantes comenzaron a hablar sobre las cosas que los habían intrigado en cuanto a la vegetación de la selva. Uno de los puntos fueron las plantas de la selva que no pueden encontrarse en ningún otro lugar del mundo. El sr. Thomas se dio cuenta de la oportunidad y escribió el siguiente problema.

Compras un árbol de plátanos de 8 pulgadas de altura. Crece 4 pulgadas por día. Su altura (en pulgadas) $h$ es una función del tiempo (en días) $d$ .

Puedes expresar esta función como una ecuación. Esta sección te mostrará cómo escribir ecuaciones lineales.

Orientación

La forma $y=mx+b$ de una ecuación era más útil para identificar rápidamente la pendiente, $m$ , y el intercepto de $y$ , $b$ . De hecho, si sabemos la pendiente de una ecuación y el intercepto de $y$ entonces simplemente escribimos la ecuación sin más. Todo lo que tienes que hacer es sustituir $m$ por la pendiente en la forma $y=mx+b$ y el intercepto de $y$ por $b$ .

Analicemos la situación.

$m = 4, y-intercept = 3$

Ahora sabemos que vamos a usar la forma $y=mx+b$ , de la ecuación, por lo que podemos incluir los valores en la ecuación y escribirla.

$y=4x+3$

Esta es la respuesta. La clave es siempre buscar los signos negativos y estar seguros de incluirlos cuando escribes tu ecuación.

Algunas veces nos pueden dar la pendiente y un punto por el cual atraviesa la recta. Podemos usar esta información para escribir la ecuación de una recta.

$\text{Slope} = -2$ , la recta pasa por el punto (0,-3)

Con este ejemplo conocemos la pendiente, de forma que podemos transformarla en la forma pendiente-intercepto. El punto tiene valor 0 para $x$ lo que significa que nos han dado la coordenada para el intercepto $y$ .

$y= -2x-3$

Esta es la respuesta.

¿Qué pasaría si solo conocieras dos puntos y no supieras la pendiente? Es una operación similar que podemos usar para escribir la ecuación.

¿Recuerdas que la fórmula de la pendiente es $m=\frac{{y_2}-{y_1}}{{x_2}-{x_1}}$ ? En otras palabras, dados dos puntos cualquiera $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ , podemos usar la fórmula de la pendiente para calcular la pendiente de la recta que pasa a través de esos puntos. Incluso cuando solo sabes dos puntos, encontrar la pendiente es solo cosa de aplicar la fórmula. ¿Pero después, qué ?

Usaremos la siguiente notación.

Si $m=\frac{{y_2}-{y_1}}{{x_2}-{x_1}}$ entonces $m=\frac{{y}-{y_1}}{{x}-{x_1}}$ porque la pendiente es la misma en cualquier parte de la recta. En otras palabras, podemos usar una fórmula similar a la fórmula de la pendiente para encontrar la ecuación. Esta vez, sin embargo, dejaremos $x$ e $y$ como variables ya que la relación es verdadera para cualquier valor de $x$ e $y$ en dicha ecuación.

Escribe la ecuación de la recta que pasa a través de los puntos $(3,7)$ y $(5,11)$ . Primero escribiremos la pendiente usando la fórmula de la pendiente ${x_1}=3,{y_1}=7,{x_2}=5,{y_2}=11$ .

$m &=\frac{{y_2}-{y_1}}{{x_2}-{x_1}}\\\m &=\frac{11-7}{5-3}\\\m &=\frac{4}{2}\\\m &=2$

Ahora incluye los valores conocidos de $m, x_1$ , y $y_1$ .

$m &=\frac{y-{y_1}}{x-{x_1}}\\\\frac{2}{1} &=\frac{y-3}{x-7}$

¿Ves que tenemos una proporción? Puede ser resuelta con una multiplicación cruzada.

$\frac{2}{1} &=\frac{y-3}{x-7}\\\1(y-3) &=2(x-7)\\\y-3 &=2x-14\\\y &=2x-11$

Esta es la respuesta.

¿Qué pasa cuando nos dan una tabla de valores? Hay una forma bastante fácil de encontrar la ecuación cuando tienes una tabla de valores. Mira.

$x$	$y$
0	5
1	7
2	9
3	11
4	13

Primero, nota que el intercepto de $y$ es el valor que tiene un valor en $x$ de 0. Con un valor 0 en $x$ sabemos que el intercepto en $y$ es 5.

Ahora necesitamos encontrar la pendiente. Mira los valores de y en la tabla. ¿Puedes ver un patrón? Si observas detenidamente verás que los valores suman +2 cada vez. Esta es la pendiente. Piensa sobre cómo se movería la recta si se graficara. El patrón de los valores de $y$ representa la pendiente de la recta.

$y=2x+5$

Esta es la respuesta.

¿Qué hay sobre la notación de funciones? Primero piensa sobre las variables independientes y las variables dependientes.

En ciencias, una variable independiente es un parámetro manipulado o elegido por un científico mientras que una variable dependiente es un parámetro que es medido. Los científicos a veces buscan correlaciones entre una variable independiente y una variable dependiente-quieren saber si la variable dependiente depende de la variable independiente. Por ejemplo, un científico puede medir la velocidad a la que se mueve un auto y la fuerza del impacto cuando el auto choca una pared. El científico puede manipular la velocidad del auto-puede hacer que el auto se mueva más lento o más rápido Luego podría medir la fuerza del impacto en relación a la velocidad. Luego se puede sacar una conclusión sobre su relación y los autos, en este caso, pueden ser diseñados en base a esta relación. La variable independiente se mostrará en la columna de la izquierda de una tabla y en el eje $x$ -de una gráfica. La variable dependiente se mostrará en la columna de la derecha de una tabla y en el eje $y$ de una gráfica.

$f(x)=4x+1$

Aquí ya sabemos que la función de $x$ es dependiente 4 veces en dicho valor, $x$ más uno .

Escribe una ecuación lineal usando la información dada.

Ejemplo A

$m = 2, y-intercept = 5$

Solución: $y=2x+5$

Ejemplo B

$m = -4, y-intercept = 6$

Solución: $y=-4x+6$

Ejemplo C

$m = 8, y-intercept = -2$

Solución: $y=8x-2$

Ahora volvamos al problema del comienzo de esta sección.

Primero tenemos que escribir la ecuación: Podemos usar la $h$ para representar la altura de un árbol de plátanos. Podemos usar la $d$ para representar el número de días. El 8 es la altura con la que comenzó el árbol. Esta es nuestra ecuación.

$h=4d+8$

Esta es nuestra respuesta.

Vocabulario

Variable independiente: Valor que no depende de otro. Es el valor de $x$ en una tabla.

Variable dependiente: Valor que depende de la ecuación. Es el valor de $y$ en una tabla.

Notación de funciones: Ecuación donde el valor de $x$ depende de la ecuación que usa $x$ .

Práctica guiada

Aquí tienes un ejemplo para practicar.

Escribe una ecuación en forma pendiente-intercepto con una pendiente de -4 y un intercepto de y de 13.

Solución

Para hacerlo, podemos tomar la forma pendiente-intercepto y sustituirla con los valores dados.

$y=mx+b$

La $m$ representa la pendiente.

La $b$ representa el intercepto de y.

$y=-4x+13$

Esta es nuestra respuesta.

Repaso en video

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

Slope-Intercept Form

*Este video solo está disponible en inglés

Práctica

Instrucciones: Escribe la ecuación de una recta con las siguientes pendientes e interceptos de $y$ .

$\text{slope} = 2, \ y \ \text{int} = 4$
$\text{slope} = -3, \ y \ \text{int} = 2$
$\text{slope} = -4, \ y \ \text{int} = 4$
$\text{slope} = 3, \ y \ \text{int} = -5$
$\text{slope} = \frac{1}{2}, \ y \ \text{int} = -2$
$\text{slope} = -\frac{1}{3}, \ y \ \text{int} = 2$
$\text{slope} = 1, \ y \ \text{int} = 8$
$\text{slope} = -2, \ y \ \text{int} = 4$
$\text{slope} = -1, \ y \ \text{int} = -1$
$\text{slope} = 5, \ y \ \text{int} = -2$

Instrucciones: Escribe las siguientes ecuaciones lineales horizontales o verticales.

Una recta horizontal con un valor de 7 para $b$ .
Una recta horizontal con un valor de -4 para $b$ .
Una recta vertical con un valor de 2 para $x$ .
Una recta vertical con un valor de -5 para $x$ .

Instrucciones: Escribe la ecuación de la recta que pasa a través de siguientes puntos.

(3, -3) y (-3, 1)
(2, 3) y (0, -3)

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