Reconocimiento de sistemas lineales

¿Sabes cómo identificar un sistema lineal de ecuaciones?

Si lo piensas, ya estas familiarizado con las ecuaciones lineales.

Aquí hay una ecuación lineal. Cuando tienes una ecuación lineal simplemente puedes resolver .

También puedes tener una ecuación con dos variables presentes.

Esta es una ecuación lineal en forma estándar.

¿Qué hay de los sistemas lineales de ecuaciones? ¿Sabes cómo identificar uno? ¿Sabes cómo resolverlo?

Esta sección te mostrará cómo trabajar con sistemas lineales. Sabrás cómo responder estas preguntas para el final esta sección.

Orientación

Las funciones lineales son útiles por sí mismas e incluso hay otras aplicaciones para ellas. En un sistema de ecuaciones lineales verás cómo las ecuaciones lineales pueden trabajar juntas en un sistema para resolver problemas aún más complejos. De hecho, hay varias formas de encontrar soluciones a estos problemas o encontrar que no hay solución alguna.

Si sumas dos números obtienes 13. ¿Puedes pensar en algún par ordenado que calce con esta descripción?

(1, 12), (3, 10), (-4, 17), (4.5, 8.5)

Estarás de acuerdo con que hay una cantidad infinita de pares de números cuya suma es 13. Puedes decir también que hay infinitos pares de números cuya resta es 7.

(9, 2), (11, 4), (37, 30), (95.8, 88.8), (-3, -10)

Sin embargo, ¿Cuál par ordenado es correcto para ambos casos al mismo tiempo? ¿Qué par suma 13 y como resta da 7?

Si haces una lista de pares ordenados, puedes revisarlos para ver cuál hace que las ecuaciones sean verdaderas.

Este es un sistema de ecuaciones —dos o más ecuaciones al mismo tiempo.

En la situación anterior la solución es (10, 3) ya que la suma de los dos números es 13 y la resta es 7.

El par (10, 3) hace que las dos ecuaciones sean verdaderas.

Una solución para un sistema de ecuación es un par ordenado que haga que las dos ecuaciones sean verdaderas. ¿Siempre hay una solución? ¿Puede haber más de una solución? Investiguémoslo.

Dos números suman 17. Si sumas dos números, el resultado es 15. Como sabes, hay infinidad de pares ordenados cuya suma es 17. También hay infinidad de pares ordenados cuya suma es 15. Pero, ¿Puede un solo par ordenado tener una suma de 17 y 15 al mismo tiempo?

Primero, escribamos las dos ecuaciones para ayudarnos a organizar la información de este sistema de ecuaciones. Hay dos ecuaciones y ambas tienen una suma distinta.

Si pensamos en estas dos ecuaciones veremos que no hay valores que sirvan para ambas.

Por lo tanto, este sistema no tiene soluciones.

Aquí hay otro ejemplo.

Dos números dan la suma de -8. Dos veces el primer número más dos veces el segundo número da 16.

Primero escribamos las dos ecuaciones descritas anteriormente. Luego podemos investigar las posibles soluciones.

¿Este sistema tiene solución? Piensa una solución para la primera ecuación. ¿Qué tal los pares (-3, -5)? ¿Funciona para la segunda ecuación? Sí. Piensa en otra solución como (9, -1). También es correcta para ambas ecuaciones.

Esta ecuación tiene un número infinito de soluciones.

Algunos sistemas de ecuaciones tienen soluciones infinitas porque todos los pares ordenados que hacen que una ecuación sea verdadera también harán que la otra sea verdadera.

Responde cada pregunta con verdadero o falso.

Ejemplo A

Un sistema lineal son dos ecuaciones donde el valor de es la solución del sistema.

Solución: Falso.

Ejemplo B

La solución para un sistema lineal se escribe como un par ordenado.

Solución: Verdadero

Ejemplo C

Algunos sistemas lineales no tienen solución

Solución: Verdadero

Ahora volvamos al problema del comienzo de esta sección.

Identificar un sistema lineal significa que verás dos ecuaciones donde hay valores desconocidos tanto para como para .

Resolver un sistema lineal requiere que encuentres dos valores que sirvan como valores para e en ambas ecuaciones.

Esta solución se escribe luego como par ordenado.

Si no puedes encontrar una solución, entonces el sistema no tiene una.

Vocabulario

Sistema de ecuaciones

Dos o más ecuaciones al mismo tiempo. La solución será el par ordenado que funcione para ambas ecuaciones.

Práctica guiada

Aquí tienes un ejemplo para practicar.

¿Qué par ordenado hace que ambas ecuaciones sean verdaderas?

1.

a. (2, 6)

b. (3, 15)

c. (4, 4)

d. (1, 7)

Probemos cada par y veamos qué par funciona:

a.

Solución

Los pares ordenados (2, 6) hacen que la primera ecuación sea verdadera, pero no lo hacen con la segunda. Debido a que no es verdadero para ambas ecuaciones, no es una solución para el sistema.

b.

El par ordenado (3, 15) ni siquiera hace que la primera ecuación sea verdadera. No hay solución para el sistema.

c.

El par ordenado (4, 4) hace que la primera ecuación sea verdadera, pero la segunda no. Debido a que no es verdadero para ambas ecuaciones, no es una solución para el sistema.

d.

El par ordenado (1, 7) hace que las dos ecuaciones sean verdaderas. Es una solución para el sistema.

Repaso en video

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Práctica

Instrucciones: Averigua qué par es una solución para cada sistema dado.

1. ¿Qué par ordenado es una solución para el siguiente sistema?

(a)

(b)

(c)

(d)

2. ¿Qué par ordenado es una solución para el siguiente sistema?

(a)

(b)

(c)

(d)

Instrucciones: Determina si cada sistema tiene soluciones infinitas o no tiene soluciones.

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

Instrucciones: Responde cada pregunta con verdadero o falso.

8. Las rectas paralelas tienen la misma pendiente.
9. Un sistema lineal de ecuaciones no puede ser graficado en el plan coordenado.
10. Las rectas paralelas tienen soluciones infinitas.
11. Las rectas perpendiculares tienen una solución.
12. Las rectas con un número infinito de soluciones no son paralelas.
13. Algunos sistemas lineales no tienen solución
14. Para resolver un sistema lineal tienes que tener un valor para x e y.
15. Un par ordenado nunca es una solución para un sistema lineal.