Resolver sistemas lineales mediante gráficas

Aquí, aprenderás a resolver sistemas lineales mediante gráficas.

¿Alguna vez has visto un problema como este? Mira.

Dos trenes dejan la estación en una misma dirección. Un tren sale dos horas antes que el otro. La velocidad promedio del primer tren es de 65 mph, mientras que la del segundo tren es de 90 mph. ¿Cuánto tardará el segundo tren en alcanzar el primero?

Los dos trenes pueden representar un sistema lineal. Puedes resolver este sistema lineal mediante gráficas. Aprenderás como resolverlo en esta sección.

Orientación

Cuando tenemos un sistema de ecuaciones podemos graficar las ecuaciones y resolver el sistema con las gráficas. Cuando graficas dos ecuaciones lineales se forman dos líneas. Estas dos líneas se intersectarán. El punto en donde las líneas se intersectan es la solución del sistema.

Mira.

Resuelve el siguiente sistema con gráficas.

$y &= 2x-4 \\\y &= -2x+8$

Para trabajar en este sistema graficaremos ambas rectas y veremos buscaremos el punto de intersección. El punto de intersección será la solución al sistema.

El punto de intersección es (3, 2).

Esta es la solución al sistema de ecuaciones.

Puede que algunas veces dos ecuaciones no se intersecten. Si pasa esto, entonces sabrás que el sistema no tiene soluciones. Las rectas paralelas son un posible sistema que no tienen solución. Las rectas paralelas tienen la misma pendiente, por lo que puedes reconocer un sistema sin soluciones.

Responde cada pregunta con verdadero o falso.

Ejemplo A

Si dos rectas se intersectan en un punto, entonces las coordinadas de ese punto son la solución para el sistema lineal.

Solución: Verdadero

Ejemplo B

Las rectas paralelas tienen la misma pendiente.

Solución: Verdadero

Ejemplo C

Las rectas perpendiculares también tienen la misma pendiente.

Solución: Falso.

Ahora volvamos al problema del comienzo de la sección.

Primero, pensemos sobre las funciones de este problema. La distancia del segundo tren $d$ es una función del tiempo $t$ . Puede encontrarse con la ecuación $d=90t$ .

Ya que el primer tren salió dos horas antes que el segundo tren, tuvo dos horas más para viajar que el segundo tren. Sin embargo, su velocidad fue de 65 mph. Su distancia puede encontrarse con la ecuación $d=65(t+2)$ .

Resuelve el sistema de ecuaciones con una gráfica.

A partir de la gráfica puedes ver que los trenes se encontrarán poco después de 5 horas.

Vocabulario

Sistema de ecuaciones: Dos o más ecuaciones al mismo tiempo. La solución será el par ordenado que funcione para ambas ecuaciones.

Práctica guiada

Aquí tienes un ejemplo para trabajar por ti mismo.

¿Este gráfico muestra una solución para el siguiente sistema? ¿Por qué o por qué no?

$y &= -3x+5 \\\y &= 3x-5$

Solución

Este gráfico no muestra una solución para el siguiente sistema. La solución (2,1) sirve para la segunda ecuación, pero no para la primera.

Un par ordenado debe ser una solución para ambas ecuaciones de un sistema.

Repaso en video

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

Solving Linear Systems by Graphing

*Este video solo está disponible en inglés

Práctica

Instrucciones: Grafica los siguientes sistemas de ecuaciones. Identifica la solución, escribe que no hay solución o que hay infinitas soluciones según sea el caso.

$y &= 2x - 3 \\\y &= x - 1$

$2x + 2y &= 1 \\\y &= -x + \frac{1}{2}$

$y &= -3x + 1 \\\3x - y &= -7$

$y &= 2x \\\\frac{y}{2} &= x- \frac{5}{2}$

$y &= 3x+5 \\\y &= - 3x+8$

$y &= 2x+1 \\\y &= 3x+3$

$y &= \frac{1}{2}x-2 \\\y &= -2x$

$y &= -2x+1 \\\y &= -2x-2$

$y &= 4x-1 \\\y &= 2x+2$

$y &= 5x-3 \\\y &= -5x+1$

$y &= 2x \\\y &= 3x-5$

$y &= -x-1 \\\y &= -x+6$

Instrucciones: Responde cada pregunta con verdadero o falso.

Algunos sistemas lineales no tienen solución
Las rectas perpendiculares tienen una solución.
Las rectas con la misma pendiente e interceptos de y tienen soluciones infinitas.

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