Resolución de sistemas lineales mediante sustitución

Aquí, resolverás sistemas lineales mediante sustitución.

¿Alguna vez has ido al omni-teatro? Mira este problema.

A Kelly le gustó tanto la presentación del omni-teatro sobre las selvas que decidió ir a verla otra vez. Le preguntó a Tyler si quería ir con ella la tarde del sábado.

"¿Quieres ir conmigo?", preguntó Kelly

"Seguro, pero tengo clases de karate primero, así que te veré allí. ¿A qué hora es la función?" Preguntó Tyler.

"La función comienza a las 2:30 pm. Voy a salir a la una en punto para pasear un rato", dijo Kelly.

"Bueno, yo no termino mis clases hasta esa hora, por lo que probablemente no salga hasta las 2:00 pm", dijo Tyler.

El sábado, los dos cumplieron con sus rutinas y se fueron al museo. La madre de Kelly tiende a conducir despacio y con cuidado, así que iba por las calles a 45 mph. La clase de karate de Tyler es en el centro, así que podía tomar la carretera para llegar al omni-teatro. Su padre condujo a un promedio de 55 mph. ¿Se alcanzarán los dos autos?

Este problema es sobre ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Tendrás que resolver un sistema de ecuaciones para encontrar la solución. Para hacerlo, necesitas encontrar una solución que sirva para ambas ecuaciones. Aprenderás todo lo anterior en esta sección.

Orientación

Recordemos que en un sistema de ecuaciones buscamos los mismos valores para $x$ e $y$ que hagan que la ecuación sea verdadera. Por lo tanto, la solución al sistema

$3y &=x-2 \\\y-x &=4$

Es el par ordenado $(x, y)$ que hace que la primera y la segunda ecuación sean verdaderas. En otras palabras, la $x$ en la primera ecuación iguala la $x$ de la segunda ecuación y la $y$ en la primera ecuación iguala la $y$ de la segunda ecuación. Ahora, mira la segunda ecuación, $y-x=4$ .Es simple encontrar el valor de $y$ suma $x$ a ambos lados. Entonces, $y=x+4$ . Bueno, si $y$ es igual en ambas ecuaciones y $y=x+4$ ,entonces podemos sustituir $y$ por $x + 4$ en la primera ecuación. Es por esto que se método de sustitución .

Ahora que hemos sustituido, podemos resolver la ecuación porque tiene solo una variable.

$3(x+4) &= x-2 \\\3x+12 &=x-2 \\\2x+12 &=-2 \\\2x &=-14 \\\x &=-7$

Si $x = -7$ , sustituye otra vez para encontrar $y$ :

$y &=x+4 \\\y &=-7+4 \\\y &=-3$

Nuestra solución es (-7, -3).

Resuelve cada sistema usando la sustitución.

Ejemplo A

$2y &=x+4 \\\y &= 3x$

Solución: $x = \frac{4}{5}, y= 2 \frac{2}{5}$

Ejemplo B

$3y &=x-22 \\\y &=4x$

Solución: $x = -2,y = -8$

Ejemplo C

$6y &=x-34 \\\y &=3x$

Solución: $x = 2, y = 6$

Ahora volvamos al problema del comienzo de la sección.

La primera ecuación que podemos escribir es para representar el tiempo de Tyler. Su padre viaja a 55 mph. Por lo tanto, la distancia es una función de la velocidad y el tiempo.

$d = 55t$

Kelly salió una hora antes que Tyler. Viaja a 45 millas por hora. Por lo tanto, la velocidad multiplicada por el tiempo de Tyler más una hora iguala al tiempo de Kelly.

$d = 45(t + 1)$

Ahora veamos si hay una solución que sirva para ambas ecuaciones. Podemos intentar resolverla usando la sustitución.

$55t &= 45(t + 1) \\\55t &= 45t + 1 \\\55t - 45t &= 1 \\\10t &= 1 \\\t &= \frac{1}{10}$

Ahora vamos a Tyler.

$d &= 55\left ( \frac{1}{10} \right ) \\\d &= 5.5$

La solución podrían ser los siguientes valores para $d$ y $t$ . Sin embargo, cuando sustituyes dichos valores en ambas ecuaciones, la solución no sirve. Por lo tanto, no hay solución para este sistema. Kelly y Tyler no se encontrarán mientras viajan.

Vocabulario

Sistema de ecuaciones: Dos o más ecuaciones al mismo tiempo. La solución será el par ordenado que funcione para ambas ecuaciones.

Práctica guiada

Aquí tienes un ejemplo para trabajar por ti mismo.

La madre de Angélica salió a visitar a su abuela porque es su cumpleaños. Su abuela vive a 450 millas de distancia y su madre conduce a un promedio de 60 mph. Tres horas más tarde, el padrastro de Angelica nota que su madre olvidó el regalo de la abuela, así que decide intentar alcanzarla. Si conduce a un promedio de 50 mph, ¿Podrá alcanzarla antes de que llegue a la casa de su abuela?

Escribe un sistema de ecuaciones para modelar la situación y resuelve usando el método de sustitución.

Solución

Primero tenemos que saber cuánto le tomará a la madre de Angelica llegar a la casa de su abuela considerando la distancia.

$d = rt$

Viaja a 50 mph y su abuela se encuentra a 450 millas.

$480 &= 60t \\\8 &= t$

Le tomará ocho horas.

Ahora, escribamos y resolvamos un sistema de ecuaciones para ver si su padrastro podrá alcanzarla antes de que llegue a su destino.

$d = 60t$ es la ecuación de la madre conduciendo.

$d = 50t + 3$ es la ecuación del padrastro conduciendo.

$60t=50t+3$

Ahora resolvemos la ecuación para t, el tiempo.

$60t-50t &= 3 \\\10t &= 3 \\\t &= \frac{3}{10}$

Ahora sustituimos este valor en el tiempo de la madre.

$60 \times \frac{3}{10}$

$18$

Le tomará al padrastro 18 horas alcanzarla. No llegará antes que la madre de Angélica.

Repaso en video

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

Solving Linear Systems by Substitution

*Este video solo está disponible en inglés

Práctica

Instrucciones: Resuelve cada sistema lineal usando la sustitución.

$y &= 8 \\\2y + 2x &= 2$

$x &= 6 \\\2y + 2x &= 2$

$2x & = 8 \\\2y + x &= 10$

$3y &= 9 \\\y + 2x &= 11$

$y -8 &= 8 \\\2y + x &= 20$

$4y &= 8 \\\y - 2x &= 8$

$x -2 &= 4 \\\4x + y &= 12$

$y &= x+8 \\\y + 2x &= 11$

$2y +8 &= 12 \\\y + 2x &= 20$

$y -3 &= 6 \\\3y + 3x &= 9$

$4y -1 &= 11 \\\y - 4x &= 5$

$2y -8 &= 8 \\\2y + 2x &= 2$

$4x + y &= -2 \\\-2x - 3y &= 1$

$y &= 2x \\\6x - y &= 8$

$x + 4y &= -6 \\\2x + 10y &= -6$

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