Resolución de inecuaciones lineales

Aquí, escribirás y resolverás inecuaciones lineales.

¿Alguna vez has ido a una selva? Mira este problema.

Irás a un viaje en jeep a la selva. Necesitas tener suficiente bencina para la ida y la vuelta. Está a 115 millas de distancia. Puedes comprar dos tipos de bencina: gasolina o etanol. La gasolina rinde 21 millas por galón, pero el etanol es más limpio y rinde 17 millas por galón. Usa una inecuación lineal para encontrar cuántos galones de cada uno necesitarías.

Para escribir la inecuación primero tienes que saber sobre ellas. Esta sección te enseñará todo lo que necesitas saber. Para el final de esta, deberías poder resolver el problema de Kenya.

Orientación

Nuestra tarea con las ecuaciones ha sido encontrar una o todas las soluciones-el grupo de soluciones-que hacen que la ecuación sea verdadera. En el caso de las inecuaciones, la tarea es la misma. Tenemos que encontrar los valores que hace que la ecuación sea verdadera.

Recuerda los símbolos de inecuación que has usado antes.

Menos que $<$ mayor que $>$ no es igual a $\ne$

Menos que o igual que $\le$ mayor que o igual que $\ge$

Puede que veas una inecuación simple como "un número es menos que cinco" o $x < 5$ y pienses en los infinitos valores que harían que $x$ fuera verdadera. También has resuelto inecuaciones como $3(x-4) \ge 7x + 10$ usando las propiedades de la ecuación.

Tal como las ecuaciones pueden tener dos variables, las inecuaciones también pueden tenerlas. Sin embargo, debido a que hay cinco signos de inecuación, tenemos que estar atentos a su significado. Además, a menudo hay muchas formas de decir lo mismo-"es menos que" podría decirse "no es tanto como"-a pesar de que usan el mismo símbolo de inecuación.

Traduce las siguientes expresiones a inecuaciones:

La suma de dos números es más de 10. $x+y>10$
La diferencia entre dos números es al menos 32. $x-y \ge 32$
Cuatro menos un número es menos que un tercio de otro número. $x-4< \frac{1}{3}y$
Cinco negativo por la suma de dos números no es 18. $-5(x+y) \ne 18$

Puedes ver que cada vez que hablamos de dos números o dos números desconocidos usamos dos variables en la ecuación. Esto nos permite expresar una inecuación en dos variables.

Igual que con las ecuaciones, la solución de una inecuación será el(los) valor(es) que hagan que la inecuación sea verdadera. Cuando viste la inecuación $x<5$ , sabías que 4 era una solución, 2, 0, -3, -7.3, etc.

Hay una infinidad de valores que hacen que la inecuación sea verdadera.

Cuando tenemos ecuaciones con dos variables como $x+y=7$ , también vimos que hay infinitas soluciones. Las soluciones se mostraron como pares de números, pares ordenados, debido a que había más de una variable, como (3, 4) o (-1, 8).

Por la misma razón mostraremos las soluciones a inecuaciones de dos variables como pares ordenados. Podemos encontrar soluciones adivinando y luego comprobando o usando un razonamiento matemático.

Mira este problema.

¿Cuál solución hace que la inecuación sea verdadera?

$3x+2>y$

$& (3, 5) && 3 \cdot 3 +2>5? && \text{yes}\\\& (-6, 0) && 3 \cdot -6+2>0? && \text{no}\\\& (-1, -1) && 3 \cdot -1+2>-1? && \text{no}\\\& (10, 31) && 3 \cdot 10+2>31? && \text{yes}$

Aquí tenemos dos posibles soluciones para la inecuación. Recuerda que a menudo tendrás más de una solución.

También podemos resolver una inecuación de la misma forma que resolveríamos una ecuación lineal.

Mira.

$4x<16$

Podemos resolver esta inecuación dividiendo ambos lados por cuatro. Luego separamos la variable y buscamos el rango de valores que sería la solución para esta inecuación.

$\frac{4x}{4} &< \frac{16}{4} \\\x &< 4$

Cualquier valor inferior a 4 será una solución para esta inecuación. Podemos escribirla como {......4}.

Las inecuaciones de varios pasos también pueden resolverse como las ecuaciones lineales.

$3x-2 &> 16 \\\3x &> 16+2 \\\3x &> 18 \\\x &> 6$

Cualquier valor mayor a 6 será una solución para esta inecuación. Podemos escribirla como {......6}.

Escribe una inecuación para cada situación.

Ejemplo A

La diferencia entre un número y siete es mayor que 12.

Solución: $x-7>12$

Ejemplo B

Un número multiplicado dos veces más seis es menos que veinte.

Solución: $2x+6<20$

Ejemplo C

Tres menos que cuatro multiplicado por un número que es mayor a 40.

Solución: $4x-3>40$

Ahora volvamos al problema del comienzo de la sección.

Para escribir la solución primero debemos escribir la inecuación. Usamos $e$ para el etanol y $g$ para la gasolina. Escribimos el número de millas por galón que rinde cada una. Queremos viajar de ida y vuelta. Ya que está a 115 millas, la distancia total es de 230 millas. Aquí está la inecuación.

$21g + 17e \ge 230$

Usando el par ordenado $(e, g)$ , podrías tener ( 13, 2), (12, 3), (6, 8). El primer valor de cada par representa el uso de etanol, el segundo valor representa el uso de bencina.

Vocabulario

Inecuación: Situación en la que dos cantidades no son iguales.

Práctica guiada

Aquí tienes un ejemplo para trabajar por ti mismo.

Resuelve esta inecuación.

$-4x-5>15$

Solución

Primero, debemos separar la variable.

$-4x-5+5 & > 15+5 \\\-4x & > 20 \\\x & > -5$

El grupo de solución es {-5......}.

Repaso en video

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

Solving Inequalities

*Este video solo está disponible en inglés

Práctica

Instrucciones: Traduce cada oración a una inecuación.

La diferencia entre dos números es mayor que 8.
La mitad de un número es al menos 3 veces otro número.
Un cuarto de la suma de dos números es menos que 15.
Un número multiplicado siete veces más 3 menos otro número no es más que -16.
Un número multiplicado por seis es más que menos treinta.
Un número multiplicado por cinco más seis es menos o igual a 39.
Doce dividido por un número es menor a siete.
Un número multiplicado por seis más dos menos otro número es menos o igual a -12.

Instrucciones: ¿Qué pares ordenados hacen que las inecuaciones sean verdaderas?

$2x-5y \ge 20$

(10, 5)
(10, 4)
(-10, -10)
(0, 0)

$y>-4x-2$

(1, 1)
(0, -6)
(2, -9)
(-1, 0)

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