Representación de inecuaciones lineales

Aquí, aprenderás a representar inecuaciones lineales para encontrar las soluciones.

¿Sabías que puedes usar una inecuación para describir una situación cotidiana? Mira este problema.

¡Vas a una fiesta! Se supone que debes llevar bebidas y papas fritas pero solo tienes $20 para gastar. Las botellas de bebida cuestan $1,50 cada una y las papas fritas $2,50 por bolsa. ¿Cuántas de cada una puedes comprar?

Este problema puede ser modelado con una inecuación lineal. Aquí aprenderás a resolver esta inecuación mediante una gráfica.

Orientación

Listar las soluciones para las inecuaciones de una variable es útil pero, ya que hay una infinidad de soluciones, es imposible mostrar la solución completa con una lista así. Por esta razón usamos las líneas de números. Cuando $x<2$ , lo mostramos así.

Con los símbolos menos que $(<)$ , más que $(>)$ , y no es igual a $(\ne)$ , hablamos de un círculo abierto, a pesar de que el grupo de solución es infinitamente más cercano al final, el final en sí no es realmente una solución . Con los símbolos de menor que o igual a $(\le)$ y mayor que o igual a $(\ge)$ el punto de término es una solución, así que usamos un círculo cerrado.

Tal cual como graficamos ecuaciones lineales, también podemos graficar inecuaciones lineales. Graficaremos las inecuaciones lineales usando la forma pendiente-intercepto. Como el círculo en una recta numerada marca el fin del grupo de solución para una inecuación de una variable, de forma que la recta en el plano coordenado marca el límite de la solución para una inecuación lineal.

El grupo solución estará a un lado de la recta o del otro. Tomaremos un punto de referencia para encontrar qué lado hace que la inecuación sea verdadera y luego marcar esa mitad del plano coordenado para indicar el grupo solución.

Con los símbolos menos que $(<)$ , más que $(>)$ , y no es igual a $(\ne)$ hablamos de un círculo abierto, a pesar de que el grupo de solución es infinitamente más cercano al final, el final en sí no es realmente una solución . Con los símbolos de menor que o igual a $(\le)$ y mayor que o igual a $(\ge)$ el punto de término es una solución, así que usamos un círculo cerrado.

Mira este problema.

Grafica el grupo solución para la inecuación $y > x+3$ .

Grafica usando $m=1, b=3$ . Usa una línea punteada porque el símbolo es $>$ .

Ahora, el grupo solución estará a un lado de la línea o del otro. Para determinar en cuál lado está, tenemos que probar un punto que no sea la línea misma. Prueba, por ejemplo, (1, 1). ¿El punto hace que la inecuación $y>x+3$ sea verdadera? $1>1+3?$ ¡No! El grupo solución debe estar al otro lado de la línea. Como puedes ver en la gráfica, marcamos el lado opuesto.

Podemos graficar cualquier inecuación de esta manera. Primero, graficamos la ecuación de la línea. Luego revisamos si es una línea sólida o si está subrayada. Luego, marcamos sobre la línea o bajo esta según el símbolo de inecuación.

Escribe estos pasos en tu cuaderno.

Responde cada pregunta sobre la representación de inecuaciones.

Ejemplo A

Verdadero o falso. Si la inecuación es menor que, entonces la gráfica mostrará que el área bajo la línea punteada está sombreada.

Solución: Verdadero

Ejemplo B

Verdadero o falso. Si la inecuación es mayor que, entonces la gráfica mostrará que el área sobre la línea punteada está sombreada.

Solución: Falso. La línea será sólida.

Ejemplo C

Verdadero o falso. Con un sistema de inecuaciones lineales, el área sombreada debe ser compartida por ambas inecuaciones.

Solución: Verdadero

Ahora volvamos al problema del comienzo de la sección.

Este problema puede ser modelado con una inecuación lineal.

Considera $s$ como el número de bebidas que compras y $c$ el número de papas fritas que compras.

La inecuación es $1.5s + 2.5c \le 20$ porque el costo de las bebidas más el costo de las papas no debe superar los $20.

Grafica la inecuación y oscurece la región correcta. Encuentra 5 combinaciones de bebidas y papas fritas que puedes comprar mirando los pares ordenados dentro de la solución en la gráfica.

Puedes comprar cualquier combinación que esté en entre los pares ordenados de la región oscurecida. Las respuestas posibles son (11, 1) (9, 2) (7, 3) (6, 4) etc.

Vocabulario

Inecuación: Situación en la que dos cantidades no son iguales.

Práctica guiada

Aquí tienes un ejemplo para trabajar por ti mismo.

Escribe la inecuación representada por esta gráfica.

Solución

Primero, nota que el área oscurecida es más grande que la línea. También, es una línea sólida, así que sabemos que la solución de la inecuación está sobre la línea e incluye los valores en la línea.

La pendiente de la línea es $2$ . El intercepto de y es $-3$ .

$y \ge 2x-3$

Esta es nuestra respuesta.

Repaso en video

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

Graphing Linear Inequalities

*Este video solo está disponible en inglés

Práctica

Instrucciones: Escribe una inecuación para cada gráfica.

Instrucciones: Grafica las siguientes inecuaciones en el plano coordenado.

$y<2x+1$
$y \ge 3x-2$
$y \ge -1/2x$
$y \le 1/4x + 2$
$y<-2x$
$y \le 4$

Instrucciones: Responde cada pregunta con verdadero o falso.

No puedes sombrear menos que una línea vertical.
Una línea punteada solo puede usarse en una inecuación con mayor que.
Se usa una línea punteada cuando el signo de inecuación no incluye un igual.
Puedes oscurecer menos que o más que en una línea horizontal.
Puedes graficar una inecuación lineal con dos variables.