Usar Diagramas de Árbol

En esta sección, calcularás probabilidades usando diagramas de árbol.

¿Has tenido problemas alguna vez al momento de decidir entre diferentes opciones de sándwich? Échale un vistazo a este dilema.

Luis tiene las siguientes alternativas para armar su sándwich.

$& \underline{\text{Choice 1: Bread}} \qquad \underline{\text{Choice 2: Cheese}} \qquad \underline{\text{Choice 3: Meat}}\\\& \text{white, wheat} \qquad \quad \ \ \text{swiss, cheddar} \qquad \quad \ \text{turkey, ham, tuna}$

¿Cuántos diferentes tipos de sándwiches puede hacer Luis?

Una forma de calcular esto es a través del uso de un diagrama de árbol. Al final de esta sección, sabrás cómo ayudar a Luis a resolver este dilema.

Orientación

Una probabilidad es una forma matemática de calcular qué tan probable es que ocurra un evento.

Un evento es un resultado de un experimento o actividad entre los que se podrían incluir cosas como:

echar cara o sello
girar una ruleta
rodar un dado
elegir un artículo desde un frasco o una bolsa

Un concepto importante que hay que tener en cuenta al momento de calcular una probabilidad es pensar en los resultados.

Un resultado es una posible consecuencia de que ocurra un evento. Cuando tiras una moneda, “cara” es un resultado; sello es un segundo resultado.

Los resultados totales se calculan simplemente contando todos los posibles resultados.

Es una buena pregunta.

Una buena manera de contar el número total de resultados de un evento es hacer un diagrama de árbol .

Un diagrama de árbol es un diagrama de ramas que muestra todos los resultados posibles de un evento.

Por ejemplo, si lanzas una moneda dos veces, ¿cuántos resultados diferentes son posibles? Para hacer el cálculo, dibuja un diagrama de árbol.

Para hacer un diagrama de árbol, divide los diferentes eventos en dos opciones excluyentes. La primera opción descompone al primer lanzamiento en cara o sello. Cada resultado del lanzamiento 1 se descompone otra vez en el lanzamiento 2.

El cuadro rosado muestra el número total de resultados para ambos lanzamientos:

$& \text{heads-heads} \quad \ \text{tails-heads}\\\& \text{heads-tails} \qquad \text{tails-tails}$

¿Qué sucede cuando aumentas a tres el número de lanzamientos? Solamente, añades otra sección al diagrama de árbol.

Ahora hay en total 8 resultados.

$& HHH \quad HTH \quad THH \quad TTH\\\& HHT \quad HTT \quad \ THT \quad TTT$

Usa un diagrama de árbol para calcular el total de resultados posibles.

Ejemplo A

Un auto tiene cuatro asientos. ¿Cuántas opciones diferentes hay si tres personas se suben al auto?

Solución: $12$ opciones.

Ejemplo B

Candice tiene dos faldas, tres poleras y dos chalecos diferentes. ¿Cuántas posibles tenidas puede crear?

Solución: $12$ opciones.

Ejemplo C

Sam está tratando de crear una pizza. Tiene dos opciones para la masa, cuatros opciones diferentes de quesos y 8 ingredientes diferentes para cubrir la pizza. ¿Cuántas pizzas puede hacer si elige solamente un ingrediente?

Solución: $64$ opciones.

Ahora, volvamos al dilema que teníamos al principio de esta sección.

Para resolver este problema, Luis puede crear un diagrama de árbol que muestre todas sus opciones y calcule los resultados para un sándwich.

Como ves, el diagrama de árbol comienza con las opciones de pan, a continuación se añade la segunda capa con las opciones de quesos y finalmente se añaden las opciones de carne.

Existen doce posibles resultados de sándwich para Luis.

Vocabulario

Probabilidad: La forma matemática de calcular qué tan probable es que un evento ocurra, la razón entre los resultados favorables y los resultados totales.

Evento: Un resultado de un experimento o actividad.

Resultado: Un posible resultado de que un evento ocurra.

Diagrama de Árbol: Un diagrama de ramas que muestra todos los posibles resultados de un evento.

Práctica Guiada

Aquí va un ejercicio para que intentes resolver por tu cuenta.

¿Cuál es la probabilidad de que todos ganen?

Solución

Puedes ver que cuando descomponemos todas las opciones, hay una opción en la que todos ganan.

Revisión en Video

Haz clic en la imagen superior para encontrar más información. (requiere conexión a internet)

*Este video solo está disponible en inglés.

Práctica

Instrucciones: Usa un diagrama de árbol para calcular todos los resultados diferentes.

La tienda de arriendos de esquí Jeff’s Jet Ski tiene 3 modelos diferentes de esquís: simples, dobles y de carrera. Se pueden arrendar por media hora o una hora. ¿Cuántas opciones de arriendos hay?
CambleCom ofrece los siguientes servicios de televisión por cable: básico, premium y súper premium. CableCom le ofrece estos servicios a los hogares, empresas pequeñas o empresas grandes. ¿Cuántas opciones diferentes de servicios de cable hay?
La empresa de periódicos Gotham Gazette ofrece a sus clientes las siguientes opciones:
- reparto del periódico a domicilio o en la oficina
- reparto solamente durante los días de semana, fin de semanas o los siete días de la semana
- pagos mensuales o semanales
¿Cuántas opciones diferentes puedes tener?
En la Avenida principal, Jiri tiene que pasar por 4 semáforos que pueden estar en rojo o verde. ¿Cuántos resultados diferentes hay para los cuatro semáforos?
La tienda tecnológica de helados I-Cone ofrece las siguientes opciones.
- cono: azúcar, wafle
- tamaño: pequeñito, mega, gigante
- sabores: arándano intenso, mango sorprendente, ataque de chocolate
¿Cuántas opciones diferentes hay?
Gretchen tiene las siguientes opciones para remodelar su cocina. Piso: baldosa o madera; Encimera: granito o formica; Lavaplatos: blanco, acero, piedra. ¿Cuántas opciones diferentes puede crear Gretchen?
Jeff tiene cinco pares de calcetines diferentes y tres pares de zapatos. ¿Cuántas combinaciones posibles hay?
Si Jeff tiene seis pares diferentes de calcetines y tres pares de zapatos. ¿Cuántas combinaciones posibles hay?
Si Jeff tiene seis pares diferentes de calcetines y cuatro pares de zapatos. ¿Cuántas combinaciones posibles hay?
Si Jeff tiene ocho pares diferentes de calcetines y tres pares de zapatos. ¿Cuántas combinaciones posibles hay?
Jessie tiene tres chalecos, dos chalecos de cuello alto y tres chaquetas. ¿Cuántas combinaciones posibles hay?
Y si Jessie tiene dos chalecos, tres chalecos de cuello alto y tres chaquetas. ¿Cuántas combinaciones posibles hay?
Y si Jessie tuviera cuatro chalecos, tres chalecos de cuello alto y tres chaquetas. ¿Cuántas combinaciones posibles hay?
Y si Jessie tuviera tres chalecos, dos chalecos de cuello alto, dos bufandas y tres chaquetas. ¿Cuántas combinaciones posibles hay?
Y si Jessie tuviera cuatro chalecos, dos chalecos de cuello alto, dos bufandas y tres chaquetas. ¿Cuántas combinaciones posibles hay?