Calcular Resultados

En esta sección, calcularás los resultados con y sin el Principio de Conteo.

¿Has estado alguna vez en una tienda de arriendos de bicicletas? Échale un vistazo a este dilema.

Telly y Carey trabajarán en una tienda de bicicletas durante las vacaciones de primavera. Están entusiasmadas porque la Srta. Kelley, la dueña, dejará que cada una elija una bicicleta al final de la semana. De esta manera, pueden trabajar y ganarse una bicicleta nueva al mismo tiempo.

Como hay tantos tipos diferentes de bicicletas, para Telly resulta muy difícil decidirse por una. Y para complicar aún más las cosas, la Srta.Kelley le dijo a Telly que la dejaría diseñar su propia bicicleta, por lo que puede elegir el color del asiento, el tipo de manubrio así como el color de la bicicleta. Telly sabe que quiere una bicicleta de montaña, así que al menos esa parte ya está resuelta. Aquí están todas las opciones que tiene Telly.

Mountain bike

Colores = rojo, verde, azul y morado

Asiento = normal o extra acolchado

Manubrio = recto o curvo

Telly tomó un pedazo de papel y trató de dibujar todas sus opciones. Se frustró casi inmediatamente.

Aquí es donde entras tú. Puedes ayudar a Telly a lidiar con este problema luego de aprender sobre el Principio de conteo. Pon atención porque verás este problema otra vez.

Orientación

Una probabilidad es una forma matemática de calcular qué tan probable es que ocurra un evento.

Un evento es un resultado de un experimento o actividad entre los que se podrían incluir cosas como:

echar cara o sello
echar cara o sello
rodar un dado
elegir un artículo desde un frasco o una bolsa

Un concepto importante que hay que tener en cuenta al momento de calcular una probabilidad es pensar en los resultados.

Un resultado es una posible consecuencia de que ocurra un evento. Por ejemplo, cuando lanzas una moneda, “cara” es un resultado; sello es un segundo resultado.

Los resultados totales se calculan simplemente contando todos los posibles resultados.

Es una buena pregunta.

Podemos usar la aritmética para calcular resultados.

Fíjate en esta situación.

La empresa de lavado de autos Ichiro’s Car Wash ofrece tres servicios de lavado diferentes: lavado exterior básico, limpieza interior, y finalmente, lavado manual detallado a la medida. Los clientes seleccionan una opción de lavado y además deciden si quieren con cera o sin cera. Puedes usar un diagrama de árbol para encontrar que hay 6 opciones o resultados diferentes para el lavado de un auto.

Podemos observar la situación en términos de resultados. En el caso de la primera opción hay tres resultados diferentes. En el caso de la segunda opción hay 2 resultados diferentes.

$3 \ \text{outcomes} \cdot 2 \ \text{outcomes} = 6 \ \text{outcomes}$

¿Qué pasa si cambiamos las opciones? ¿Todavía funcionaría este método? Agreguemos más opciones al problema sobre el lavado de autos y veamos.

Veamos las opciones de cambio de aceite que ofrece la empresa. Los clientes pueden obtener aceite estándar o sintético, con o sin filtro, y pagar con un cupón de descuento o el precio normal. En el caso de cada opción hay dos resultados diferentes.

$2 \ \text{outcomes} \cdot 2 \ \text{outcomes} \cdot 2 \ \text{outcomes} = 8 \ \text{outcomes}$

Este método de cálculo del número de resultados totales se puede establecer como una regla general llamada el Principio de conteo .

El principio de conteo : el número de opciones o resultados de dos eventos independientes events, $A$ y $B$ tomados juntos, es el producto del número total de resultados de cada evento.

$\text{Total outcomes for} \ A \ \text{and} \ B = \text{(number of outcomes for} \ A) \cdot \text{(number of outcomes for} \ B)$

Otra vez, el Principio de Conteo requiere que tomemos el número de opciones o resultados de dos eventos independientes y multiplicarlos. El producto de esos resultados nos dará el número total de resultados de cada evento.

Por ejemplo, en 2 lanzamientos de una moneda hay 2 resultados para cada lanzamiento. Usando el Principio de Conteo, puedes encontrar el número total de resultados como:

$2 \ \text{outcomes} \cdot 2 \ \text{outcomes} = 4 \ \text{total outcomes}$

Puedes usar el Principio de Conteo para calcular las probabilidades de los eventos. Por ejemplo, supongamos que quisieras saber la probabilidad de rodar dos dados y sumar 5. La probabilidad de cualquier evento es igual a la razón entre los resultados favorables y el número total de resultados posibles igualmente probables.

$& P \text{(event)} = \frac{\text{favorable outcomes}}{\text{total outcomes}}$

Los resultados favorables son los resultados que estás buscando.

En este caso los resultados favorables son resultados que suman 5. Para encontrar el número de resultados totales de los dos lanzamientos, puedes usar el Principio de Conteo. Ya que cada lanzamiento de un cubo tiene 6 resultados diferentes.

$\text{total outcomes} &= 6 \ \text{outcomes} \cdot 6 \ \text{outcomes}\\\&= 36\ \text{total outcomes}$

Para resolver este problema en particular, debemos añadir otro paso. Ahora, haz una lista de esos 36 resultados y marca los resultados que dan como resultado una suma de 5.

$1-1 \quad 2-1 \quad 3-1 \quad {\color{red}\mathbf{4-1}} \quad 5-1 \quad 6-1 \\\1-2 \quad 2-2 \quad {\color{red}\mathbf{3-2}} \quad 4-2 \quad 5-2 \quad 6-2 \\\1-3 \quad {\color{red}\mathbf{2-3}} \quad 3-3 \quad 4-3 \quad 5-3 \quad 6-3 \\\{\color{red}\mathbf{1-4}} \quad 2-4 \quad 3-4 \quad 4-4 \quad 5-4 \quad 6-4 \\\1-5 \quad 2-5 \quad 3-5 \quad 4-5 \quad 5-5 \quad 6-5 \\\1-6 \quad 2-6 \quad 3-6 \quad 4-6 \quad 5-6 \quad 6-6$

Ya que hay cuatro resultados que suman 5:

$P(5) = \frac{4}{36}=\frac{1}{9}$

La probabilidad de lanzar dos dados que sumen 5 es $\frac{1}{9}$ .

Calcula cada resultado.

Ejemplo A

Jake tiene dos camisetas, cuatros pares de pantalones y tres suéteres. ¿Cuántas tenidas diferentes puede crear?

Solución: 24 resultados

Ejemplo B

Y si Jake tuviera dos camisetas, cinco pares de pantalones y cuatro suéteres. ¿Cuántas tenidas diferentes podría crear?

Solución: 40 resultados

Ejemplo C

Y si Jake elige solamente un suéter. ¿Cuántas tenidas diferentes puede crear con cuatro pares de pantalones y dos camisetas.

Solución: 8 resultados

Ahora, volvamos al dilema que teníamos al principio de esta sección.

Primero, enumeremos las opciones una vez más.

Mountain bike

Colores = rojo, verde, azul y morado

Asiento = normal o extra acolchado

Manubrio = recto o curvo

A continuación, podemos usar el Principio de Conteo para calcular el número total de opciones que Telly tiene para su bicicleta.

Hay cuatro colores = 4

Hay dos opciones de asiento = 2

Hay dos opciones de manubrio = 2

$4 \times 2 \times 2 = 16$ opciones posibles de bicicleta

Esta es la respuesta.

Vocabulario

Probabilidad: La forma matemática de calcular qué tan probable es que un evento ocurra, la razón entre los resultados favorables y los resultados totales.

Evento: Un resultado de un experimento o actividad.

Resultado: Un posible resultado de que un evento ocurra.

Resultados Totales: Todos los resultados posibles

Principio de Conteo: $\text{Resultados} \times \text{outcomes} = \text{total outcomes}$

Resultados Favorables: Los resultados que buscas.

Práctica Guiada

Aquí va un ejercicio para que intentes resolver por tu cuenta.

¿Cuál es la probabilidad de girar una ruleta dos veces y que se detenga sobre el mismo color ambas veces

Solución

Paso 1 : en vez de dibujar un diagrama de árbol, usa el Principio de Conteo para encontrar el número de resultados totales. Ya que cada vuelta tiene 4 resultados:

$\text{total outcomes}&= 4 \ \text{outcomes} \cdot 4 \ \text{outcomes}\\\ &= 16 \ \text{total outcomes}$

Paso 2 : has una lista con los 16 resultados y encuentra el número de formas en que la ruleta pueda parar en el mismo color ambas veces:

$&{\color{red} \mathbf{red - red}} && \text{blue}-\text{red} && \text{yellow}-\text{red} && \text{green}-\text{red} \\\&\text{red}-\text{blue} && {\color{red} \mathbf{blue - blue}} && \text{yellow}-\text{blue} && \text{green}-\text{blue}\\\&\text{red}-\text{yellow} && \text{blue}-\text{yellow} && {\color{red} \mathbf{yellow - yellow}} && \text{green}-\text{yellow}\\\&\text{red}-\text{green} && \text{blue}-\text{green} && \text{yellow}-\text{green} && {\color{red} \mathbf{green - green}}$

Paso 3 : encuentra la razón de resultados favorables y resultados totales:

$P \text{(same)} = \frac{favorable}{total \ outcomes}=\frac{4}{16}= \frac{1}{4}$

La probabilidad de que la flecha pare sobre el mismo color dos veces seguidas es $\frac{1}{4}$ .

Revisión en Video

Haz clic en la imagen superior para encontrar más información. (requiere conexión a internet)

*Este video solo está disponible en inglés.

The Counting Principle

Práctica

Instrucciones: usa el principio de conteo para calcular el número de resultados.

Nigel dejó caer 3 sándwiches de mantequilla de maní sin tapa que tenían la misma probabilidad de caer con la cara hacia arriba o hacia abajo. ¿Cuántas opciones diferentes hay?
La pasta de dientes Movie Star viene en 3 sabores diferentes: destellos, explosión y rayas, 3 tamaños diferentes y 2 estilos diferentes de tubo. ¿Cuántas opciones de pasta de dientes hay?
Dave hizo 3 predicciones sobre los partidos de fútbol del domingo. ¿Cuántos resultados diferentes de aciertos o equivocaciones hay?
Bridget hizo 4 predicciones sobre los partidos de fútbol del domingo. ¿Cuántos resultados diferentes de aciertos o equivocaciones hay?
¿Cuántos resultados más habrán si Bridget agrega una predicción extra en el problema 4 de arriba?
Las sandalias Sandy's vienen en 4 modelos diferentes: deportivas, súper deportivas, casuales y chic, 5 colores diferentes y 9 tallas diferentes. ¿Cuántas opciones hay?
Las bicicletas de Mike tienen tres estilos diferentes de bicicleta: de montaña, carrera y de trucos. Puedes elegir 6 sistemas diferentes de velocidades, 4 aleaciones para marcos y 4 colores. ¿Cuántas opciones de bicicletas hay?
En el problema 7 de arriba, Mike obtiene un nuevo color de bicicleta, pero ahora tiene solo 5 sistemas diferentes de velocidad. ¿Ahora tiene más o menos opciones? ¿Cuántas más o cuántas menos?
Tilly gira 3 veces una ruleta que tiene secciones rojas, azules y amarillas. ¿Cuántos resultados diferentes son posibles?
Tilly gira una ruleta que tiene secciones rojas, azules y amarillas y lanza un dado. ¿Cuántos resultados diferentes son posibles?
Tilly lanza un dado 2 veces. ¿Cuántos resultados diferentes son posibles?
Tilly lanza un dado 3 veces. ¿Cuántos resultados diferentes son posibles?

Instrucciones: usa el principio de conteo para calcular las probabilidades de una ruleta con cuatros colores: rojo, amarillo, azul y verde.

Kalyani gira una ruleta 2 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que la flecha se detenga sobre el verde ambas veces?
Kalyani gira una ruleta 2 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que la flecha se detenga en el mismo color ambas veces?
Kalyani gira una ruleta 2 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que la flecha se detenga en un color diferente cada vez?

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