Reconocer Permutaciones

¿Has tenido alguna vez un candado con combinación? Échale un vistazo a este dilema.

El martes en la mañana, Telly estaba sentada en medio de una pila de candados con combinación cuando llegó Carey.

“¿Qué estás haciendo?”, preguntó Carey y se sentó junto a la pila de candados.

“Estoy revisando y asegurándome de que todos estos candados funcionen”, explicó Telly. “Aquí hay una pila de candados para ti.”

Carey comenzó a revisar los candados también. Alrededor de cinco minutos más tarde, ella se detuvo y miró a Telly.

“Sabías que estos candados ni se deberían llamar candados con combinación. No se trata realmente de una combinación, sino que se trata de una permutación”, dijó Carey riéndose.

Telly miró a su amiga como si tuviera seis cabezas. Estaba completamente confundida.

“¿De qué estás hablando?”, preguntó Telly.

¿Sabes de qué está hablando Carey? Si no lo sabes ahora, lo sabrás al final de esta sección. Y luego entenderás qué son las permutaciones.

Orientación

El orden es importante en algunas situaciones y no lo es en otras. Por ejemplo, si seguimos la receta de una torta, el orden de cada paso es importante. Tienes que quebrar los huevos antes de mezclarlos con la harina. De la misma manera, el glaseado se pone sobre la torta únicamente después de haber sido horneada.

Por otro lado, el orden no es importante al momento de comprar los ingredientes para hacer una torta. ¿Importa si compras la harina antes que los huevos o la lecha antes que el glaseado? No, por lo tanto, se podría decir que el orden no es importante al momento de comprar los ingredientes de una torta.

Para resolver problemas en los que el orden sí importa, puedes usar las permutaciones . Una permutación es una selección de elementos en el cual el orden es importante. Para usar permutaciones en la resolución de problemas, necesitas saber identificar los problemas en los cuales el orden, o la disposición de los elementos importan.

Fíjate en esta situación.

Francis Imelda Guzmán quiere saber de cuántas formas puede ordenar sus iniciales, . ¿Importa el orden en este problema?

Debido a que quiere disponer cada letra de una manera particular, el orden sí importa. Se trata de una permutación y no de una combinación.

Paso 1 : escribe un único orden o permutación.

Paso 2 : Ahora reordena esas mismas letras. ¿El cambio de orden de los elementos alteró el resultado? Si es así, entonces el orden sí importa.

diferente del original

Cada disposición de las letras es una permutación diferente.

También podemos contar las permutaciones. Existe una forma matemática de calcular el número de permutaciones posibles dado el número de elementos seleccionados.

Para contar el número de permutaciones en un problema, tienes que mirar al problema como una serie de opciones.

Podemos encontrar el número de permutaciones de un grupo si se incluyen todos los miembros de ese grupo. Supongamos que hay 3 taxis frente a un hotel: Acme, Bluebird y Checker.

Si los 3 se alinean para esperar por el próximo cliente, el número de formas diferentes de alinearse o permutaciones de 3 elementos tomados de 3 a la vez es:

Otra vez, esta es la permutación de los 3 taxis puestos en fila al mismo tiempo. Podríamos decir también que se trata de tres objetos tomados de a tres a la vez.

¿Qué sucede cuando 4 taxis llegan al hotel, pero solamente hay espacio para que 3 taxis formen una fila? Por ejemplo, ¿cuántas filas diferentes de 3 taxis habrían si comenzaras con 4 taxis: Acme, Bluebird, Checker y Decker?

Ahora, en el caso de la opción 1 tienes cuatro opciones en vez de 3.

En el caso de la opción 2 tienes 3 opciones en vez de 2 y en el caso de la opción 3 tienes 2 opciones en vez de 1.

El cálculo final nos da 24 opciones totales:

Esta es la respuesta cuando tenemos cuatro opciones tomadas de a tres.

Sí. Es verdad. Los contamos regresivamente Así es como podemos multiplicarlos para encontrar el número exacto de permutaciones.

Ejemplo A

Si cinco personas quieren ir al cine, pero hay solamente dos asientos disponibles. ¿De cuántas formas se pueden sentar las personas si se pueden sentar solamente dos a la vez?

Solución:

Ejemplo B

¿De cuántas formas diferentes se podría sentar la gente si hubiese tres asientos?

Solución:

Ejemplo C

¿De cuántas formas diferentes se podría sentar la gente si hubiese cuatro asientos?

Solución:

Ahora, volvamos al dilema que teníamos al principio de esta sección.

Carey dijo que el candado se debería considerar como un candado de permutación, ya que una permutación es una serie de números con un orden específico. Si no pones los números en ese orden, entonces el candado no se abrirá.

Vocabulario

Permutación

Una selección de elementos en el que el orden es importante.

Práctica Guiada

Aquí va un ejercicio para que intentes resolver por tu cuenta.

Tres taxis: un taxi Acme, una limusina Bluebird y un Checker, todos llegan a las afueras del Hotel BigWig al mismo tiempo. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden poner en una fila las tres compañías de taxis?

Solución

Una manera de mirar este problema es como el producto de 3 opciones diferentes. En el caso de la opción 1 puede seleccionar cualquiera de los tres taxis, Acme, Bluebird o Checker.

En el caso de la opción 2, tus opciones se limitan. Ya has elegido el primer taxi, así que ahora solamente tienes 2 taxis para elegir.

Finalmente, en el caso de la opción 3 te queda solamente una opción.

Puedes multiplicar las tres opciones juntas para obtener el número total de opciones o permutaciones, como 6.

Aquí están las 6 maneras diferentes en que las compañías de taxis se pueden poner en fila.

Revisión en Video

Haz clic en la imagen superior para encontrar más información. (requiere conexión a internet)

*Este video solo está disponible en inglés.

Permutations

Práctica

Instrucciones: calcula cada permutación o cada resultado.

1. Cuatro ranas diferentes entraron a una competencia de saltos: Spots, Dots, Slimey y Croaky. ¿De cuántas maneras pueden las 4 terminar en primer, segundo, tercer y cuarto lugar?
2. Denise tiene las letras A, R, X, O, G, I y L. ¿Cuántos arreglos diferentes puede hacer con cuatro letras?
3. Seis personas se inscribieron para jugar Scrabble: Tim, Jim, Kim, Pam, Sam y Cam. Solo 4 personas pueden jugar a la vez. ¿Cuánto juegos diferentes con 4 jugadores son posibles?
4. Arnold imprimió su informe de 8 páginas sin poner los números de páginas en las páginas. Ahora estas se han mezclado. ¿De cuántas maneras diferentes puede Arnold ordenar las 8 páginas?
5. El especial de almuerzo en el Restaurante Bamboo ofrece una opción de won-ton o sopa agripicante, una opción de camarón kung pao o pollo con brócoli y una opción de arroz o fideos. ¿Cuántos almuerzos especiales diferentes hay?
6. Rex olvidó la contraseña del cajero de su tarjeta bancaria. Sabe que la contraseña está compuesta por los 4 dígitos de su cumpleaños, 24 de octubre o 1, 0, 2, 4? ¿Cuántas contraseñas diferentes necesita probar para estar seguro que obtendrá su contraseña?
7. Javier anotó las letras del nombre de Jasmine sobre 7 cupcakes y los puso en una caja. ¿De cuántas maneras diferentes puede sacarlos de la caja uno por uno?
8. En el nuevo reality show, llamado Lazybones, los cinco finalistas: Snoozin’ Betty, Lounge Man, The Yawn Meister, Lana Later y Bob el Procrastinador, compiten para ver quién es la persona más perezosa. En el episodio de hoy, se seleccionarán los 3 súper finalistas de los cinco. ¿De cuántas maneras distintas se pueden escoger a los 3 súper finalistas?
9. Cuatro amigos imprimieron las letras M, E, T, S en la parte delantera de sus camisetas. Van al juego de los Mets y se sentarán en 4 asientos el uno al lado del otro. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar los 4?
10. ¿Cuántos números diferentes de 3 dígitos puedes formar con los dígitos 4, 5 y 6?

Instrucciones: usa las permutaciones para resolver cada problema.

11. ¿Cuántos números diferentes de 3 dígitos puede escribir Blanche usando los dígitos 7, 8 y 9?
12. ¿Cuántas secuencias de 4 letras puede escribir Blanche usando las letras A, B, C, D?
13. El encargado de programación del canal Oddball-TV tiene 5 programas nuevos de media hora que quiere transmitir los martes por la noche: Strange Days, Slightly Off, Odd Rod, Bent e Icky the Great. ¿De cuántas maneras diferentes puede presentar los programas?
14. Un tren tiene 6 carros diferentes: un carro de pasajeros, un carro de equipaje, un carro para el correo, un carro comedor, un carro de carga y un furgón de cola. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ordenar los carros?
15. Los últimos 5 dígitos del teléfono de Beryl son 34567. ¿Cuántos números tienen estos mismos 5 dígitos?
16. Mía tiene 7 colgantes para su pulsera: un corazón, una luna, una tortuga, un cubo, un pájaro, un aro y un auto. ¿De cuántas maneras diferentes puede ordenar los 7 colgantes?