Evaluar Permutaciones usando Notación de Permutación

En esta sección, evaluarás las permutaciones usando la notación de permutación.

¿Sabes cómo calcular una permutación en notación de permutación? Échale un vistazo a este dilema.

Encuentra $_{8}P _{2}$

Para calcular esta permutación, tendrás que comprender qué es la notación de permutación. Pon atención y aprenderás todo lo que necesitas saber en esta sección.

Orientación

El orden es importante en algunas situaciones y no lo es en otras. Por ejemplo, si seguimos la receta de una torta, el orden de cada paso es importante. Tienes que quebrar los huevos antes de mezclarlos con la harina. De la misma manera, el glaseado se pone sobre la torta únicamente después de haber sido horneada.

Por otro lado, el orden no es importante al momento de comprar los ingredientes para hacer una torta. ¿Importa si compras la harina antes que los huevos o la lecha antes que el glaseado? No, por lo tanto, se podría decir que el orden no es importante al momento de comprar los ingredientes de una torta.

Para resolver problemas en los que el orden sí importa, puedes usar las permutaciones . Una permutación es una selección de elementos en el cual el orden es importante. Para usar permutaciones en la resolución de problemas, necesitas saber identificar los problemas en los cuales el orden, o la disposición de los elementos importan.

Podemos encontrar el número de permutaciones de un grupo si se incluyen todos los miembros de ese grupo. Por ejemplo, supongamos que hay 3 taxis frente a un hotel, Acme, Bluebird y Checker. Si los 3 se ponen en una fila para esperar al próximo cliente, el número de las diferentes formas de ponerse en fila o permutaciones de 3 elementos tomados de a 3 es:

Otra vez, esta es la permutación de las 3 compañías de taxis puestas en fila al mismo tiempo. Podríamos decir también que se trata de tres objetos tomados de tres a la vez.

La manera más eficiente de calcular los números de usos de permutaciones se llama factoriales .

Los factoriales son números especiales que representan el producto de una serie de números descendentes.

El símbolo de un factorial es un signo de exclamación. Échale un vistazo.

$8! &= 8- \text{factorial} = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\\\11! &= 11- \text{factorial} = 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\\\4! &= 4- \text{factorial} = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\\\17! &= 17- \text{factorial} = 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$

Para calcular los valores de los factoriales, simplemente multiplica la serie de números.

$4! &= 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24\\\5! &= 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120\\\8! &= 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 40,320\\\11! &= 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 39,916,800$

Podemos usar factoriales para calcular permutaciones.

Supongamos que tienes 6 elementos y quieres saber cuántos arreglos puedes hacer con 4 de los elementos.

En este problema el orden importa, por lo que tendrás que encontrar el número de permutaciones que hay en 6 elementos tomados de a 4. En notación de permutación escribes lo siguiente.

${\color{red}_{6}}P {\color{blue}_{4}} \ \Longleftarrow$ 6 elementos tomados de a 4

En general, las permutaciones se escriben como:

${\color{red}_{n}}P {\color{blue}_{r}} \ \Longleftarrow {\color{red}n}$ elementos tomados ${\color{blue}r}$ por vez

Para hacer el cálculo ${_n}P{_r}$ escribes:

${_{\color{red}n}}P{_{\color{blue}r}}=\frac{{\color{red}n}!}{({\color{red}n}-{\color{blue}r})!}=\frac{\Longleftarrow {\color{red}\text{total items!}}}{\Longleftarrow \ ({\color{red}\text{total items}}-{\color{blue}\text{items taken at a time}})!}$

Para hacer el cálculo $_{6}P _{4}$ solo reemplaza con los números:

${\color{red}_{6}}P {\color{blue}_{4}}&= \frac{{\color{red}6}!}{({\color{red}6}-{\color{blue}4})!}$

$\frac{720}{2}$

$360$

Como verás, es el producto de los valores en orden descendiente el que nos dice cuántas permutaciones son posibles.

Puedes usar este método para resolver cualquier número de permutaciones.

Calcula cada permutación.

Ejemplo A

Encuentra $_{4}P _{3}$

Solución: $24$ options

Ejemplo B

Encuentra $_{12}P _{2}$

Solución: $132$ opciones

Ejemplo C

Encuentra $_{8}P _{6}$

Solución: $20,160$ opciones

Ahora, volvamos al dilema que teníamos al principio de esta sección.

Encuentra $_{8}P _{2}$

Es lo mismo que decir 8 opciones tomadas de a 2.

Podemos multiplicar para resolver la permutación.

$8 \times 7 = 56$

Hay 56 opciones.

Vocabulario

Permutación: Una selección de elementos en el que el orden es importante.

Factorial: Un número especial que representa el producto de una serie de valores descendentes.

Práctica Guiada

Aquí va un ejercicio para que intentes resolver por tu cuenta.

Encuentra $_{7}P _{3}$

Solución

Paso 1 : entender qué significa $_{7}P _{3}$ .

${\color{red}_{7}}P {\color{blue}_{3}} \ \Longleftarrow$ 7 elementos tomados de a 3.

Paso 2 : establece el problema.

${\color{red}_{7}}P {\color{blue}_{3}}= \frac{{\color{red}7}!}{({\color{red}7}-{\color{blue}3})!}= \frac{\Longleftarrow{\color{red} \text{total items!}}}{\Longleftarrow({\color{red} \text{total items}}-{\color{blue} \text{items taken at a time}})!}$

Paso 3 : reemplaza con los números y simplifica.

${\color{red}_{7}}P {\color{blue}_{3}}= \frac{{\color{red}7}!}{({\color{red}7}-{\color{blue}3})!}= \frac{7!}{4!}= \frac{7 \times 6 \times 5 \times \cancel{4 \times 3 \times 2 \times 1}}{\cancel{4 \times 3 \times 2 \times 1}}= \frac{7 \times 6 \times 5}{1}=210$

Hay 210 permutaciones posibles.

Revisión en Video

Haz clic en la imagen superior para encontrar más información. (requiere conexión a internet)

*Este video solo está disponible en inglés.

Permutations

Práctica

Instrucciones: Calcula cada permutación.

Encuentra $_{7}P _{2}$
Encuentra $_{6}P _{3}$
Encuentra $_{5}P _{4}$
Encuentra $_{5}P _{5}$
Encuentra $_{9}P _{3}$
Encuentra $_{9}P _{7}$
Encuentra $_{11}P _{3}$
Encuentra $_{12}P _{3}$
Encuentra $_{6}P _{2}$
Encuentra $_{14}P _{3}$
Encuentra $_{15}P _{3}$
Encuentra $_{11}P _{4}$
Encuentra $_{16}P _{2}$

Instrucciones: usa las permutaciones para resolver cada problema.

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