Reconocer Combinaciones

Aquí, reconocerás combinaciones en situaciones donde el orden no es importante.

¿Has estado alguna vez en una carrera de bicicletas? Échale un vistazo a este dilema.

“Vamos chicas, ustedes pueden ayudarme a hacer esta lista”, La Srta. Kelley llamó a Carey y a Telly.

Se trataba del tercer día de trabajo de las niñas y estaban comenzando a ayudarle a la Srta. Kelley a organizar una gran corrida en bicicleta. La tienda recibió a un grupo de ciclistas de todas partes de la zona para ayudar a recaudar dinero para obras de caridad. Ciclistas de todas partes ya se habían registrado y ahora solo faltaba que la Srta. Kelley organizara la lista en orden de partida en la competencia.

“¿Cómo decides quien va al frente?”, preguntó Carey.

“¿Te refieres al líder del grupo?”, preguntó la Srta. Kelley.

“Si, supongo”, respondió Carey.

“Pues bien, es totalmente al azar. Esta no es una carrera profesional, por lo tanto, no importa en dónde parte alguien. Todos tendrán la misma oportunidad, y además, todo el dinero recaudado irá para obras de caridad”, explicó la Srta. Kelly.

Carey miró a Telly.

“Una combinación, no una permutación”, dijo Carey.

Telly lo entendió esta vez. Ahora, después de la situación con los candados, entendió la definición de una permutación.

¿Entiendes cómo una permutación es diferente de una combinación? ¿Por qué Carey dijo que esto era una combinación? Pon atención y sabrás cómo responder estas preguntas al final de esta sección.

Orientación

El orden es importante para algunos grupos de elementos, pero no es importante para otros. Fíjate en una lista de las palabras: POTS, STOP, SPOT y TOPS.

Para deletrear cada palabra individual, el orden es importante. Las palabras POTS, STOP, SPOT y TOPS todas usan las mismas letras, pero forman palabras muy diferentes.
En el caso de la propia lista, el orden no es importante. Ya sea que las palabras se presenten con un orden, como por ejemplo POTS, STOP, SPOT, TOPS; o con otro orden, como STOP, SPOT, TOPS, POTS; o un tercer orden como TOPS, POTS, SPOT, STOP, no hay diferencia. Mientras que la lista incluya a las 4 palabras, el orden de las 4 palabras no importa.

Una combinación es un arreglo de elementos en que el orden, o cómo se ordenen los elementos, no es importante. La colección de un orden de los elementos no es funcionalmente diferente que cualquier otro orden.

Piensa en una pizza. No importa el orden en el cual pones los ingredientes para cubrir la pizza una vez que están todos sobre ella. Puedes poner una combinación de ingredientes sobre una pizza.

Algunas veces el orden sí importa. Cuando el orden sí importa, entonces usa una permutación.

Fíjate en esta situación.

Seis personas: Larry, Sherry, Terri, Carrie, Mary y Harry, todas quieren subirse a un bote que tiene espacio para solo 4 pasajeros. ¿Cuántos grupos diferentes de 4 personas pueden subirse al bote?

Paso 1 : escribe un único orden.

Larry, Sherry, Terri.Harry

Paso 2 : Ahora cambia el orden. ¿El cambio de orden de los elementos alteró el resultado? Si es así, entonces el orden sí importa.

Sherry, Harry, Larry, Terri $\Longleftarrow$ diferente orden, los mismos 4 pasajeros

El orden NO es relevante en el caso de este problema. Usa combinaciones.

4 bailarines de tap entraron en el Show Star Power Talent: Debbie, Maurice, Minnie y Ronnie. Los 4 aparecerán por separado en el escenario. ¿De cuántas maneras diferentes pueden los 4 estar programados para aparecer en el escenario?

Paso 1 : escribe un único orden.

Debbie, Ronnie, Maurice, Minnie

Paso 2 : Ahora cambia l orden. ¿Alteraste el resultado? Si es así, entonces el orden sí importa.

Maurice, Debbie, Minnie, Ronnie $\Longleftarrow$ orden diferente, significa que es DIFERENTE

El orden SÍ es relevante en el caso de este problema. Usa las permutaciones, no las combinaciones.

Al resolver problemas, podemos usar combinaciones para resolver problemas donde el orden no es importante. Una manera de encontrar el número de combinaciones es usar un diagrama de árbol.

Fíjate en esta situación.

Para su equipo top de tenis doble, el entrenador Yin están pensando en 3 jugadores: Joyce, Rose y Nica. ¿Cuántos equipos de dobles diferentes podría considerar el entrenador?

El primer diagrama de árbol muestra las 6 permutaciones totales de los 3 jugadores. Sin embargo, el orden no importa en este problema Por ejemplo, el equipo conformado por Joyce-Rose no es diferente del equipo Rose-Joyce.

Así, en el segundo diagrama de árbol tachamos todos los resultados que se repiten. Esto nos deja 3 que combinaciones que no son repeticiones.

Joyce-Rose, Joyce-Nica, Rose-Nica

Este método de hacer un diagrama de árbol y tachar las repeticiones es confiable, pero no es la única forma para encontrar combinaciones. También las puedes enumerar.

Evalúa cada combinación.

Ejemplo A

¿Cuántas disposiciones diferentes de letras puedes hacer si tiene seis letras pero solo usas 3 cada vez?

Solución: $20$ arreglos

Ejemplo B

¿Cuántas disposiciones diferentes de letras puedes hacer si tiene seis letras pero solo usas 4 a la vez?

Solución: $15$ arreglos

Ejemplo C

¿Cuántas disposiciones diferentes de letras puedes hacer si tienes siete letras pero solo usas 3 a la vez?

Solución: $35$ arreglos

Ahora, volvamos al dilema que teníamos al principio de esta sección.

La clave aquí es que el orden de los ciclistas no importa. La Srta. Kelley dijo que era al azar. Cualquiera puede estar al frente, y por lo tanto, se trata de una combinación. Una combinación es una serie donde el orden no importa. Si esta fuera la situación donde el orden sí importa, entonces se trataría de una permutación.

Vocabulario

Combinación: Una disposición de elementos o eventos donde el orden no importa.

Permutación: Una disposición de elementos o eventos donde el orden sí importa.

Factorial: Un número especial que representa el producto de números en orden descendente.

Práctica Guiada

Aquí va un ejercicio para que intentes resolver por tu cuenta.

¿Cuántos dúos de violines diferentes pueden Ben, Jen, Ren, Wen y Ken formar?

Solución

Paso 1 : comienza con Ben. Añade todas las combinaciones que comienzan con Ben a tu lista.

$& \underline{\text{Combination}} && \underline{\text{List}}\\\& \text{{\color{red}Ben,} {\color{red}Jen}, Ren, Wen, Ken} && \text{{\color{red}Ben-Jen}}\\\& \text{{\color{red}Ben}, Jen, {\color{red} Ren}, Wen, Ken} && \text{{\color{red}Ben-Ren}}\\\& \text{{\color{red}Ben}, Jen, Ren, {\color{red}Wen}, Ken} && \text{{\color{red}Ben-Wen}}\\\& \text{{\color{red}Ben}, Jen, Ren, Wen, {\color{red}Ken}} && \text{{\color{red}Ben-Ken}}\\\$

Paso 2 : cubriste todas las combinaciones que comienzan con Ben. Ahora pasa por todas las combinaciones que comiencen con Jen, Ren y Wen.

$& \underline{\text{Combination}} && \underline{\text{List}}\\\& \text{Ben, Jen, Ren, Wen, Ken} && \text{Ben-Jen}\\\& \text{Ben, Jen, Ren, Wen, Ken} && \text{Ben-Ren}\\\& \text{Ben, Jen, Ren, Wen, Ken} && \text{Ben-Wen}\\\& \text{Ben, Jen, Ren, Wen, Ken} && \text{Ben-Ken}\\\& \text{Ben, {\color{red}Jen}, {\color{red}Ren}, Wen, Ken} && \text{{\color{red}Jen-Ren}}\\\& \text{Ben, {\color{red}Jen}, Ren, {\color{red} Wen}, Ken} && \text{{\color{red}Jen-Wen}}\\\& \text{Ben, {\color{red}Jen}, Ren, Wen, {\color{red}Ken}} && \text{{\color{red}Jen-Ken}}\\\& \text{Ben, Jen, {\color{red}Ren}, {\color{red}Wen}, Ken} && \text{{\color{red}Ren-Wen}}\\\& \text{Ben, Jen, {\color{red}Ren}, Wen, {\color{red}Ken}} && \text{{\color{red}Ren-Ken}}\\\& \text{Ben, Jen, Ren, {\color{red}Wen}, {\color{red}Ken}} && \text{{\color{red}Wen-Ken}}\\\$

Ahora tu lista está completa. En total, hay 10 combinaciones.

Revisión en Video

Haz clic en la imagen superior para encontrar más información. (requiere conexión a internet)

*Este video solo está disponible en inglés.

Combinations

Práctica

Instrucciones: resuelve cada combinación.

En el Rancho Dudley’s Dude hay 6 jinetes pero solo 4 caballos. ¿De cuántas maneras diferentes puede un grupo de 4 salir a andar a caballo?
Con 4 vueltas más, Dale Earnhardt Jr., Robbie Gordon, Kyle Busch y Kasey Kahne están todos compitiendo para ganar una carrera de NASCAR. ¿De cuántas maneras diferentes pueden terminar los tres mejores conductores?
Un As, un Rey, una Reina, una Jota, un Diez y un Nueve de trébol están boca abajo sobre una mesa. ¿Cuántas manos diferentes de 3 cartas puedes sacar de una vez?
Una bolsa tiene 4 bolitas: roja, azul, amarillo y verde. ¿De cuántas maneras diferentes puedes meter la mano en la bolsa y sacar 2 bolitas de una vez y tirarlas en una copa?
¿Cuántas bandas diferentes de 4 cornos puedes elegir en una clase con 10 músicos que tocan este instrumento?
Ocho candidatos están compitiendo en las primarias presidenciales. ¿Cuántos pares de presidente y vicepresidente son posibles?
Quince estudiantes compiten en el concurso de geografía Geography Bee. ¿De cuántas maneras diferentes pueden tres personas ser escogidas como ganadores?
Nueve personas quieren andar en un bote con forma de banana, pero solamente hay 4 chalecos salvavidas. ¿Cuántos grupos diferentes pueden andar en el bote cada vez?
Las últimas 5 personas en el cine deben competir por los últimos 3 asientos vacíos. ¿Cuántos grupos diferentes de 3 pueden sentarse y ver la película?

Instrucciones: usa lo que has aprendido para encontrar las combinaciones.

Leah juntó 3 flores diferentes para un ramillete: una rosa, un tulipán y un narciso. ¿Cuántos ramilletes de 2 flores puede crear?
Leah le agregó un lirio a sus flores. ¿Cuántos ramilletes de 2 flores puede crear con una rosa, un tulipán, un narciso y un lirio?
¿Cuántos ramilletes de 3 flores puede crear con una rosa, un tulipán, un narciso y un lirio?
¿Cuántos ramilletes de 3 flores puede crear Leah con una rosa, un tulipán, un narciso, un lirio y una violeta?
¿Cuánto ramilletes de 3 flores puede crear Leah con una rosa, un tulipán, un narciso, un lirio y una violeta?
En el Rancho Dudley’s Dude hay 5 personas interesadas en montar un caballo: Peg, Greg, Meg, Sue y Drew; sin embargo, tan solo hay 4 caballos. ¿Cuántos grupos diferentes de 4 caballos pueden salir a cabalgar?

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