Evaluar Combinaciones usando Notación de Combinación

En esta sección, usarás la notación de combinación para evaluar combinaciones.

¿Sabes cómo usar la notación de combinación? Échale un vistazo a este dilema.

Evalúa la siguiente combinación.

Calcula ${{_8}C{_3}}$

Para calcular esto, tendrás que comprender qué es la notación de combinación. Pon atención y sabrás cómo evaluar esta combinación al final de esta sección.

Orientación

El orden es importante para algunos grupos de elementos, pero no es importante para otros. Fíjate en una lista de las palabras: POTS, STOP, SPOT, y TOPS.

• Para deletrear cada palabra individual, el orden es importante. Las palabras POTS, STOP, SPOT y TOPS todas usan las mismas letras, pero forman palabras muy diferentes.
• En el caso de la propia lista, el orden no es importante. Ya sea que las palabras se presenten con un orden, como por ejemplo POTS, STOP, SPOT, TOPS; o con otro orden, como STOP, SPOT, TOPS, POTS; o un tercer orden como TOPS, POTS, SPOT, STOP, no hay diferencia. Mientras que la lista incluya todas las 4 palabras, el orden de las 4 palabras no importa.

Una combinación es un arreglo de elementos en que el orden, o cómo se ordenen los elementos, no es importante. La colección de un orden de los elementos no es funcionalmente diferente que cualquier otro orden.

Piensa en una pizza. No importa el orden en el cual pones los ingredientes para cubrir la pizza una vez que están todos sobre ella. Puedes poner una combinación de ingredientes sobre una pizza.

Al momento de evaluar una combinación, puedes usar un diagrama de árbol. Sin embargo, usar un diagrama de árbol puede quitar mucho tiempo y la notación de combinación es una opción mucho más simple.

Para usar notación de combinación, primero debes entender sobre factoriales. ¿Te acuerdas sobre los factoriales?

Una factorial es un número especial que representa el producto de un conjunto de valores con orden descendente.

Fíjate en este problema.

Para evaluar 5! Podemos decir que se trata del producto de valores que empiezan con 5 en orden descendente.

$5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

La respuesta es 120.

Podemos usar factoriales y la notación de combinación para evaluar combinaciones sin usar listas o diagramas de árbol. Veamos cómo funciona.

La notación de combinaciones es parecida a la notación de permutaciones. Para representar el número de combinaciones que hay para 6 elementos tomados de a 4, escribe:

${\color{red}_6}C{\color{blue}_4} \ \Longleftarrow$ 6 elementos tomados de a 4.

En general, las combinaciones se escriben como:

${\color{red}_n}C{\color{blue}_r} \ \Longleftarrow \color{red}n$ elementos tomados $\color{blue}r$ por vez

Para hacer el cálculo ${{_n}C{_r}}$ usa la fórmula:

${\color{red}_n}C{\color{blue}_r}=\frac{{\color{red}n}!}{{\color{blue}r!}({\color{red}n}-{\color{blue}r})!}$

Aquí hay otra.

Encuentra ${{_5}C{_2}}$

Paso 1 : entender qué significa ${_5}C{_2}$ .

${\color{red}_5}C{\color{blue}_2} \ \Longleftarrow$ 5 elementos tomados de a 2.

Paso 2 : establece el problema.

${\color{red}_5}C{\color{blue}_2}=\frac{{\color{red}5}!}{{\color{blue}2!}({\color{red}5}-{\color{blue}2})!}$

Step 3 : reemplaza con los números y simplifica.

${{_5}C{_2}}=\frac{5!}{2! (3!)}=\frac{5 \times \overset{2}{\cancel{4}} \times \cancel{3 \times 2 \times 1}}{\cancel{2} \times \cancel{1} \times \cancel{(3 \times 2 \times 1)}}=\frac{5 \times 2}{1}=10$

Hay 10 combinaciones diferentes posibles.

Evalúa cada combinación.

Ejemplo A

Encuentra ${{_6}C{_3}}$

Solución: $20$ arreglos

Ejemplo B

Encuentra ${{_9}C{_2}}$

Solución: $36$ arreglos

Ejemplo C

Encuentra ${{_5}C{_4}}$

Solución: $5$ arreglos

Ahora, volvamos al dilema que teníamos al principio de esta sección.

Encuentra ${{_8}C{_3}}$

Primero, podemos escribir el numerador.

$\frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)}$

A continuación, simplificamos.

$\frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1}$

$56$ arreglos

Esta es nuestra respuesta.

Vocabulario

Combinación: Un arreglo de elementos o eventos donde el orden no importa.

Factorial: Un número especial que representa el producto de números en orden descendente.

Práctica Guiada

Aquí va un ejercicio para que intentes resolver por tu cuenta.

Escribe la siguiente situación usando notación de combinación. A continuación evalúala.

Dieciséis estudiantes fueron al parque. Cuatro estudiantes pudieron ir en 4 autos. ¿Cuántas combinaciones diferentes de estudiantes podría haber?

Solución

Primero, usa la notación de combinación.

Encuentra ${{_16}C{_4}}$

Ahora podemos evaluar la combinación al simplificar primero.

$\frac{16 \times 15 \times 14 \times 13}{4 \times 3 \times 2 \times 1}$

$\frac{43,680}{24}$

Puede haber $1,820$ arreglos diferentes.

Revisión en Video

Haz clic en la imagen superior para encontrar más información. (requiere conexión a internet)

*Este video solo está disponible en inglés.

Combinations

Práctica

Instrucciones: Evalúa cada combinación.

Encuentra ${{_5}C{_2}}$
Encuentra ${{_6}C{_5}}$
Encuentra ${{_7}C{_2}}$
Encuentra ${{_7}C{_3}}$
Encuentra ${{_8}C{_2}}$
Encuentra ${{_6}C{_4}}$
Encuentra ${{_9}C{_2}}$
Encuentra ${{_9}C{_4}}$
Encuentra ${{_8}C{_3}}$
Encuentra ${{_4}C{_4}}$

Instrucciones: Usa la fórmula para resolver las diferentes combinaciones.

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