Entender las Probabilidades Condicionales

Aquí, reconocerás y aplicarás la definición de una propiedad condicional para calcular probabilidades en espacios muestrales limitados.

¿Has trabajado alguna vez en una tienda de bicicletas? Échale un vistazo a este dilema.

El jueves, Carey estaba a cargo de atender los teléfonos y reservar citas para reparar bicicletas. La tienda de bicicletas hace reparaciones los lunes, martes y miércoles en la mañana, y los jueves y viernes por la tarde. Todas las citas se reservan al azar. La persona que realiza la cita puede elegir o la persona que atiende el teléfono puede elegir.

Carey reservó dos citas.

¿Cuáles son las chances de que ambas citas se reservaran para un lunes, martes o miércoles en la mañana?

Para responder esta pregunta necesitarás entender qué es una probabilidad condicional. Esta sección te enseñará todo los que necesitas saber para poder encontrar la solución del problema al final de la sección.

Orientación

Algunas veces el resultado que obtienes cuando calculas una probabilidad es lo que llamamos “condicional”. Esto significa que obtendremos un resultado si se dan las condiciones diseñadas para causar un resultado específico

Fíjate en esta situación.

Imagina un tarra con 4 bolitas negras y 6 bolitas blancas. Si sacas al azar 2 bolitas del tarro, una a la vez, sin reemplazar la primera bolita, ¿cuál es la probabilidad de que ambas bolitas sean blancas?

Comienza por aproximarte al problema de la misma forma que los harías con eventos independientes.

La probabilidad de que la primera bolita sea blanca es:

$P (\text{white} \ 1 \text{st marble}) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

¿Qué hay de la segunda bolita?

Al haber extraído la primera bolita de la bolsa, ahora en vez de haber 6 bolitas blancas de un total de 10 bolitas, quedan solamente 5 bolitas blancas de un total de 9:

$P (\text{white} \ 2 \text{nd marble}) = \frac{5}{9}$

Esto nos da una probabilidad de que ambos eventos ocurran como:

$P (\text{white then white}) &= P (\text{white} \ 1 \text{st marble}) \cdot P (\text{white} \ 2 \text{nd marble}) \\\&= \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{9} \\\&= \frac{1}{3}$

El mismo método general funciona para calcular dos (o más) eventos dependientes cualesquiera.

Ahora, miremos una probabilidad condicional y los resultados.

Una probabilidad condicional involucra situaciones en las cuales determinas la probabilidad de un evento basado en la ocurrencia de otro evento .

Por ejemplo, supongamos que lanzas dos dados sobre una mesa. En el primer dado sale un 5. El segundo dado se cae de la mesa, por lo que no puedes ver qué número salió. A partir de los que sabes hasta ahora, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los dados sea 9?

Para resolver este problema, considera todo el espacio muestral de lanzar dos dados.

$&66 \quad 56 \quad {\color{red}46} \quad 36 \quad 26 \quad 16 \\\&65 \quad 55 \quad {\colorbox{yellow}{\color{red}45}} \ \ 35 \quad 25 \quad 15 \\\&64 \quad 54 \quad {\color{red}44} \quad 34 \quad 24 \quad 14 \\\&63 \quad 53 \quad {\color{red}43} \quad 33 \quad 23 \quad 13 \\\&62 \quad 52 \quad {\color{red}42} \quad 32 \quad 22 \quad 12 \\\&61 \quad 51 \quad {\color{red}41} \quad 31 \quad 21 \quad 11$

Ya sabes que en el primer dado salió un 4, por lo que ahora tienes que considerar solamente los resultados marcados con rojo. Solamente 1 de esos 6 resultados es un 9, por lo tanto:

$P (9 | 4) = \frac{favorable \ outcomes}{total \ outcomes} = \frac{1}{6}$

Ten en cuenta que anotamos la probabilidad condicional como $P (9 | 4)$ . La puedes leer como:

$P (9|4) \Longleftarrow$ la probabilidad de 9, dado 4

Aquí hay otras formas de leer esta notación.

$P (B|A) \Longleftarrow$ la probabilidad de $B$ , a partir de $A$

$P (7|3) \Longleftarrow$ la probabilidad de 7, a partir de 3

$P (\text{heads}| \text{tails}) \Longleftarrow$ la probabilidad de que salga cara, a partir de sellos

$P (\text{red}| \text{blue}) \Longleftarrow$ la probabilidad de que salga rojo, a partir de azul

La probabilidad está determinada, ya que ciertos factores entran en juego.

Podemos usar las probabilidades condicionales para determinar probabilidades y también para hacer predicciones.

Una pila de 12 cartas tiene al As, Rey y Reina de los 4 palos, pica, corazones, diamantes y tréboles. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar 2 cartas al azar, ambas sean de corazones? Hacer una predicción.

Paso 1 : sacar la primera carta La probabilidad de que sea de corazones es 3 de 12.

Paso 2 : ahora saca la segunda carta. Ya que la primera carta fue de corazones, quedan solamente 12 cartas y tan solo dos de ellas son corazones.

Paso 3 : calcula la probabilidad final.

Así $P(\text{heart and heart}) = \frac{1}{22}$ . Podrías predecir que ambas cartas serán de corazones $\frac{1}{22}$ de las veces.

Un tarro contiene cuatro bolitas azules y ocho bolitas rojas.

Ejemplo A

¿Cuál es la probabilidad de sacar una azul, luego una bolita roja sin reponer la primera bolita?

Solución: $\frac{8}{33}$

Ejemplo B

¿Cuál es la probabilidad de sacar 2 bolitas rojas?

Solución: $\frac{7}{24}$

Ejemplo C

¿Cuál es la probabilidad de sacar una bolita roja, luego una azul sin reponer la primera?

Solución: $\frac{8}{33}$

Ahora, volvamos al dilema que teníamos al principio de esta sección.

Para calcular esta probabilidad, primero debemos determinar la probabilidad de que la primera cita se reserve para el lunes, martes o miércoles. Hay cinco posibles días para hacer reservas, pero hay solo tres resultados favorables.

Probabilidad de que la primera cita sea el lunes, martes o miércoles $=\frac{3}{5}$

Probabilidad de que la segunda cita sea el lunes, martes o miércoles $=\frac{2}{4}$ o $\frac{1}{2}$

Ahora podemos multiplicarlas para obtener la probabilidad condicional.

$\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$ o 30%

Hay una probabilidad del 30% de que las dos primeras citas se reserven para una mañana del lunes, martes o miércoles.

Vocabulario

Eventos Independientes: El resultado de un evento no afecta el resultado de un segundo evento.

Eventos Dependientes: Si el resultado de un evento tiene algún efecto sobre el resultado de otro evento, estos son eventos dependientes.

Eventos Sobrepuestos: Eventos que comparten un resultado

Probabilidad Condicional: Probabilidad que se predice sobre la base de condiciones o criterios específicos.

Práctica Guiada

Aquí va un ejercicio para que intentes resolver por tu cuenta.

Un servicio de Catering acepta citas para los días de semana de lunes a jueves y los fines de semana de viernes a domingo. Si las citas se realizan al azar, ¿cuál es la probabilidad de que 2 días de semana sean los dos primeros días en ser reservados?

Solución

Solución : la probabilidad de que el primer día sea un día de semana es:

$P (\text{weekday} \ 1 \text{st}) = \frac {4}{7}$

La probabilidad de que el segundo día reservado sea un día de semana es:

$P (\text{weekday} \ 2 \text{nd}) = \frac {3}{6} = \frac{1}{2}$

$P \text{(weekday and weekday)} &= P \text{(weekday} \ 1 \text{st}) \cdot P \text{(weekday} \ 2 \text{nd}) \\\&= \frac{4}{7} \cdot \frac{1}{2}\\\&= \frac{2}{7}$

Revisión en Video

Haz clic en la imagen superior para encontrar más información. (requiere conexión a internet)

*Este video solo está disponible en inglés.

Conditional Probabilidad

Práctica

Instrucciones: Resuelve los problemas.

Una pila de 12 cartas tiene 4 ases, 4 reyes y 4 reinas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar al azar 2 ases de la pila de cartas?
¿Cuál es la probabilidad de sacar un as y luego un rey de la fila de arriba?
¿Cuál es la probabilidad de sacar 3 reinas de la pila de cartas de arriba?
El cajón de las poleras de Stoyko tiene 4 poleras de colores y 4 poleras blancas. Si Stoyko saca dos poleras al azar, ¿cuál es la probabilidad de que las dos sean de colores?
Si Stoyko saca 2 poleras al azar del cajón, ¿cuál es la probabilidad de que la primera sea de colores y que la segunda sea blanca?
En un programa de juegos, hay 16 preguntas: 8 fáciles, 5 de mediana dificultad y 3 difíciles. Si a los participantes les dan las preguntas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros dos participantes tengan las preguntas fáciles?
En el programa de arriba, ¿cuál es la probabilidad de que el primer participante obtenga una pregunta fácil y que el segundo participante obtenga una pregunta difícil?
En el programa de arriba, ¿cuál es la probabilidad de que los dos primeros participantes obtengan pregunta difíciles?
En el caso de un único lanzamiento de un dado, ¿cuál es la probabilidad de que salga un número impar y mayor que 2?
En el caso de un único lanzamiento de un dado, ¿cuál es la probabilidad de que salga un número mayor que 2 y menor que 6?
En el caso de un único lanzamiento de un dado, ¿cuál es la probabilidad de que salga un número mayor que 1 y menor que 6?
¿Cuál es la probabilidad de que la suma de un par de dados sea 11 si en el primer dado salió un 5?
¿Cuál es la probabilidad de que la suma de un par de dados sea número impar si en el primer dado salió un 2?
¿Cuál es la probabilidad de que la suma de un par de dados sea un número par y mayor que 6 si en el primer dado salió un 4?
Si lanzas un dado, predice cuán probable es que salga un número menor que 6.

Prev Next