Entender las Probabilidades Geométricas

En esta sección, usarás las probabilidades geométricas en la resolución de problemas.

¿Has visto alguna vez un truco en bicicleta? ¿o un ciclista de trucos? Échale un vistazo a este dilema.

“Mira esto,” dijo Carey enseñándole a Telly un foto de un ciclista haciendo un truco.

La foto era de un ciclista bajando por una parte de un tubo. De hecho, el tubo estaba dividido en dos partes separadas y el ciclista podía andar por ambas partes del tubo.

“Yo hice uno de esos una vez”, dijo la Srta.Kelley mirando el artículo.

““¿Cómo lo hiciste?” preguntó Telly.

“Bien, comienzas con una pieza de tubo de 10 pies. Luego la cortas en dos partes separadas. La idea es que tu trabajo sea preciso y terminar con una pieza que sea de alrededor de 7 pies o más larga. De esa manera puedes realmente bajar antes del giro rápido,” dijo la Srta. Kelley mientras salía.

“Cuáles son las probabilidades de que el tubo quede dividido así?” preguntó Telly.

Este es otro lugar para calcular probabilidades. Aunque se trata de una probabilidad geométrica, así que pon mucha atención y serás capaz de resolver este problema.

Orientación

La mejor forma de pensar sobre una probabilidad geométrica es a través de situaciones cotidianas. Fíjate en esta situación.

Un bus viaja por la calle Cuatro-Colores por los pueblos de Greenville, Red Hook, Yellow Town y Mt. Blue. Hay una distancia de exactamente 1 milla entre cada pueblo por la calle Cuatro-Colores.

Si alguien se sube al bus en algún punto al azar a lo largo de la ruta de 4 millas, ¿cuál es la probabilidad de que se suba al bus en Greenville?

Pensemos en cómo podemos resolver este problema. Para resolverlo, imagina que no se sube un solo pasajero al bus, sino que 100. Si cada pasajero se sube en un punto al azar, se esperaría que los pasajeros fuesen recogidos con una distribución pareja sobre los 4 pueblos diferentes.

Día	Greenville	Red Hook	Yellow town	Mt.blue
pasajeros esperados	25	25	25	25

Por supuesto que en la vida cotidiana, los datos pueden ser distintos, pero en general se podrían esperar que 25 de 100, o $\frac{1}{4}$ de los pasajeros, subirse en Greenville. En términos de probabilidades:

$P(\text{Greenville}) = \frac{1}{4}$

Esto es porque hay un lugar de cuatro posibles puntos donde una persona podría ser recogida por el bus.

En general:

La probabilidad de que un punto seleccionado al azar se encuentre en una sección “favorable” dada de una distancia es igual a la razón entre la longitud de la sección favorable y distancia completa.

$P (\text{point in section}) &= \frac{\text{Length of ``favorable'' section}}{\text {Total distance}}$

Miremos otro problema donde usaremos el mismo diagrama de los pueblos de los cuatro colores.

En el problema del bus de arriba, ¿cuál es la probabilidad de que un pasajero se suba al azar al bus en Red Hook o en Yellow Town?

Para resolver este problema, representa al pasajero como un punto que puede aparecer en cualquier parte a lo largo de la ruta.

$P (\text{Red Hook or Yellow Town}) &= \frac{\text{length of ``favorable'' section}}{\text {total distance}} \\\&= \frac{1 \ mile + 1 \ mile}{4 \ miles} \\\&= \frac{1}{2}$

Se podría esperar que el pasajero se suba al bus en Red Hook o en Yellow Town en alrededor $\frac{1}{2}$ del tiempo.

Estos dos escenarios se relacionan con la probabilidad espacial geométrica y con los resultados posibles. El espacio del camino es cuatro caminos. Hay cuatro resultados posibles dentro de los cuatro caminos.

Como una broma, un jugador de tenis en el lado izquierdo de la cancha que estaba tratando de poner su servicio en el cuadrado de saque $A$ pega un servicio recto hacia el cielo tan alto como pudo. La pelota cayó en la parte verde de la cancha en un lugar al azar.

¿Cuál es la probabilidad de que servicio cayera en el cuadro de saque $A$ ?

Acuérdate de la información que recién aprendiste en la sección anterior. En esta sección, aprendiste a determinar donde se puede localizar un punto al azar dentro de otras secciones dadas. Aquí tenemos resultados posibles y tenemos identificado nuestro resultado favorable. Se identifica físicamente en el espacio y no solo en forma numérica.

$P (\text{point in section}) &= \frac{\text{length of ``favorable'' section}}{\text{total distance}}$

Una regla similar se aplica para un área.

La probabilidad de que un punto seleccionado al azar se encuentre en una sección de un área es igual a la razón que hay entre el área de la sección “favorable” con el área entera.

$P (\text{point in section}) &= \frac{\mathbf{area} \ \text{of ``favorable'' section}}{\text{total} \ \mathbf{area}}$

Anota esta razón de probabilidad en tu cuaderno.

Para encontrar la probabilidad de que la pelota caiga en el cuadrado de servicio, encuentra la razón del área del cuadrado $A$ con el area completa del lado verde de la cancha.

$P (\text{ball lands in box}) &= \frac{\text{area of favorable section}}{\text{total area}} \\\&= \frac{\text{area of box}\ A}{\text{area box} \ A + \text{box} \ B + \text{box} \ C}$

Ahora calcula el área del cuadrado $A$ , cuadrado $B$ , y cuadrado $C$ . Puedes mirar el diagrama para determinar esto. Recuerda que la fórmula para el área de un rectángulo es $A = lw$ y que las unidades de medida son unidades cuadradas. En este caso, serían pies cuadrados.

$\text{Box} \ A &= 21 \ ft \cdot 13.5 \ ft \\\&= 283.5 \ sq \ ft \\\\text{Box} \ B &= 21 \ ft \cdot 13.5 \ ft \\\&= 283.5 \ sq \ ft \\\\text{Box} \ C &= 18 \ ft \cdot 27 \ ft \\\&= 486 \ sq \ ft$

Así:

$P(\text{ball lands in box}) &= \frac{\text{area of ``favorable'' section}}{\text{total area}}\\\&= \frac{\text{area} \ A}{\text{area} \ B + \text{area} \ B + \text{area} \ C} \\\&= \frac{283.5}{1053} \\\&= 26.9\%$

La pelota tiene un poco más de una chance de 1 en 4 de caer en el cuadrado de servicio.

Buena pregunta Obtuvimos eso porque 25% sería lo mismo que un cuarto o $\frac{1}{4}$ . Aquí tenemos un porcentaje final de 26,9%, por lo que es un poco mayor que 25%. Por lo tanto, podemos decir que hay un poco más que 1 en 4 de probabilidad de que la pelota caiga en el cuadrado de servicio.

También podemos usar la probabilidad geométrica con regiones circulares. Échale un vistazo.

Por lo tanto, a probabilidad de que un punto al azar se ubique en el círculo blanco es:

$P(\text{white}) &= \frac{\text{Area of white}}{\text{Total area}}$

Usa la fórmula del área de un círculo, $A = \pi r^2$ para encontrar el área del círculo blanco y el área total de la figura.

$A (\text{white}) &= \pi r^2 \\\&= (3.14) \cdot (4.5) \cdot(4.5) \\\&= 63.6 \ sq \ in \\\A \text{(large)} &= \pi r^2 \\\&= (3.14) \cdot(7.5) \cdot (7.5) \\\&= 176.6 \ sq \ in$

Así:

$P (\text{white}) &= \frac{\text{area of white}}{\text{total area}} \\\&= \frac{63.6}{176.6} \\\&= 36\%$

Para encontrar la probabilidad de que un punto se ubique al azar en la región negra, primero calcular el área de la región negra.

$A (\text{black}) &= \text{total area} - \text{white area} \\\&= 176.6 - 63.6 \\\&= 113.0$

Así:

$P (\text{black}) &= \frac{\text{area of black}}{\text{total area}} \\\&= \frac{113.0}{176.6} \\\&= 64\%$

Ten en cuenta que una manera fácil de encontrar el $P(\text{black})$ es reconocer que $P(\text{black})$ y $P(\text{white})$ son eventos complementarios.

El punto debe estar o en el área negra o en el área blanca, por lo que las dos probabilidades deben sumar un 100 por ciento.

$P (\text{black}) + P (\text{white}) &= 100\% \\\P(\text{black}) + 36\% &= 100\% \\\{\color{red}64\%} + 36\% &= 100\%$

Esta es una forma en la que podemos revisar nuestro trabajo. Ten en cuenta que tendrás que usar la fórmula del área de un círculo para determinar la probabilidad geométrica relacionada con esta área.

Usa el cuadro de los pueblos Greenville, Red Hook, Yellow town y Blue Mountain para responder cada pregunta.

Ejemplo A

¿Cuál sería la probabilidad de que alguien se suba en Yellow town o en Blue Mt.?

Solución: $\frac{2}{4}$

Ejemplo B

¿Cómo sería como un decimal?

Solución: $.50$

Ejemplo C

¿Cómo sería como porcentaje?

Solución: $50\%$

Ahora, volvamos al dilema que teníamos al principio de esta sección.

Paso 1 : el tamaño mínimo de la pieza más grande sería de 7 pies. Eso haría que la pieza más pequeña tuviera 3 pies de largo. Haz esta delimitación en tu diagrama.

Paso 2 : ahora fíjate que el tubo se puede también quebrar en el otro lado. Esto está señalado con rojo.

Con 3 pies en cada lado, nos deja con un largo de 4 pies en el centro de la tubería.

Paso 3 : ahora imagina la tubería como áreas separadas. Las áreas sombreadas muestran regiones donde una de las partes es mayor que 7 pies de largo. Esas son tus secciones favorables.

Así, la probabilidad de cortarla en un pedazo que sea de 7 pies de largo o mayor es:

$P (> 7 \ ft) &= \frac{\text{length of favorable sections}}{\text{total distance}} \\\&= \frac{3 \ ft + 3 \ ft}{10 \ ft} \\\&= \frac{6}{10} \\\ &= \frac{3}{5}$

La probabilidad es de 60% de que una pieza de la tubería tenga 7 pies de largo o más.

Vocabulario

Probabilidad Geométrica: Usar geometría y fórmulas para calcular una probabilidad.

Práctica Guiada

Aquí va un ejercicio para que intentes resolver por tu cuenta.

La compañía Ultra tiene un logo gigante desplegado en un cartel publicitario en el centro de la ciudad. El logo es iluminado por miles de pequeños pixeles LCD de alta definición- Los pixeles por lo general se dañan o queman. Predice dónde ser ubicar los próximos 60 pixeles dañados.

Solución

Para resolver esto, podemos usar la probabilidad geométrica para hacer una predicción.

Para encontrar la probabilidad de dónde se ubicará un pixel dañado, primero calcula el área de cada sección. Como lo muestra el diagrama, cada lado de la pantalla verde mide 20 pies, mientras que cada lado del diamante azul mide 28,2 pies

$A (\text{green}) &= 20 \cdot 20 \\\&= 400 \ sq \ ft \\\A (\text{diamond}) &= 28.2 \cdot 28.2 \\\&= 795.2 \ sq \ ft$

Ahora, el área total de los 4 triángulos del mismo tamaño es igual al área de la figura completa menos el cuadrado verde del centro.

$A (\text{diamond}) - A (\text{green}) &= A (4 \ \text{triangles}) \\\795.2 - 400 &= 395.2 \ sq \ ft$

Ya que hay 4 triángulos del mismo tamaño, cada triángulo tiene la siguiente área.

$\text{Area of all triangles} \div 4 &= \text{area of single triangle} \\\395.4 \div 4 &= 98.9 \ sq \ ft$

Así:

$A \text{(red)} &= 98.9 \ sq \ ft \\\A \text{(blue)} &= 3 \cdot 98.9\\\&= 296.6 \ sq \ ft$

Para encontrar la probabilidad de cada área:

$P (\text{green}) &= \frac{\text{area of green}}{\text{area of diamond}} \\\&= \frac{400}{795.2} \\\&= 50.2\% \\\\\\P (\text{blue}) \ &= \frac{\text{area of blue}}{\text{area of diamond}} \\\&= \frac{296.6}{795.2} \\\&= 37.3\%\\\\\\P \text{(red)} \ \ &= \frac{\text{area of red}}{\text{area of diamond}} \\\&= \frac{98.9}{795.2} \\\&= 12.5\%$

Ahora que tenemos todas las probabilidades resueltas, podemos hacer predicciones. Recuerda que antes de hacer una predicción, primero tendrás que calcular la probabilidad. La probabilidad te ayudará a calcular cada predicción.

Problema : predice dónde se ubicarán los próximos 64 pixeles dañados en la figura de arriba.

Paso 1 : encuentra las probabilidades. (Ya las encontraste arriba).

$P (\text{green}) &= 50.2\% \\\P (\text{blue}) &= 37.3\% \\\P (\text{green}) &= 12.5\%$

Paso 2 : multiplica cada probabilidad por el número de eventos. En este caso, el número total de eventos es 64, el número de pixeles dañados. Redondea cuando sea necesario

$\text{green} &= 0.502 \cdot 64 \\\&= 32 \\\\text{blue} &= 0.373 \cdot 64 \\\&= 24 \\\\text{red} &= 0.125 \cdot 64 \\\&= 8$

Esta es la respuesta.

Revisión en Video

Haz clic en la imagen superior para encontrar más información. (requiere conexión a internet)

*Este video solo está disponible en inglés.

Práctica

Instrucciones: Dibuja diagramas para resolver los problemas.

Geoff manejó su bicicleta a lo largo de un camino de 8 millas y perdió su celular en algun lugar a lo largo del camino. ¿Cuál es la probabilidad de que el teléfono de Geoff se haya caido durante la primera milla del camino?
En el problema del teléfono de arriba, ¿cuál es la probabilidad de que a Geoff se le haya caido el teléfono durante la primera milla o las últimas 2 millas?
En el problema anterior, Geoff buscó desde la milla 4,5 hasta la milla 7. ¿Cuál es la probabilidad de que encuentre su teléfono?
En el problema anterior, una torre de celular se ubica en la milla 4, exactamente en el centro del camino. La torre tiene un alcance de 2,75 millas. Si Geoff usa un segundo teléfono para llamar a su teléfono perdido, ¿cuál es la probabilidad de que suene el teléfono perdido?
En el problema del teléfono de arriba, ¿qué alcance tendría que tener la torre para estar seguros de que el teléfono perdido de Geoff sonaría?

Indicaciones: Usa esta información sobre una cancha de fútbol para responder las siguientes preguntas.

Una cancha de fútbol tiene 120 yardas de largo: 100 yardas (verde) más dos zonas finales (que se muestran en rojo y azul) y 53 yardas de ancho. Las dos líneas de marca que pasan a lo largo del centro de la cancha se encuentran a 13 yardas de distancia y a 20 yardas de las líneas laterales. Una paloma vuela sobre el estadio y aterriza en un lugar al azar de la cancha.

¿Cuál es la probabilidad de que la paloma se detenga en una de las zonas finales?
¿Cuál es la probabilidad de que la paloma se detenga entre la línea de gol y la línea de la yarda 20 en el otro lado de la cancha?
¿Cuál es la probabilidad de que la paloma aterrice dentro de 5 yardas de la línea de la yarda 50?
¿Cuál es la probabilidad de que la paloma aterrice en algún lugar sobre la parte verde de la cancha?

Instrucciones: Mira el diagrama y a continuación responde cada pregunta como si estuviese relacionada con las probabilidades geométricas.

El radio del círculo 1 (el círculo interior más amarillo) es de 1 metro. Cada radio a partir de ahí aumenta en 1 m, como se señala. ¿Cuál es la probabilidad de que un dardo lanzado al azar caiga sobre el círculo 1?
¿Cuál es la probabilidad de que el dardo caiga en el círculo 2?
¿Cuál es la probabilidad de que el dardo caiga en el círculo 3?
¿Cuál es la probabilidad de que el dardo caiga en el círculo 4?
¿Cuál es la probabilidad de que el dardo caiga en el círculo 5?
¿Cuál es la probabilidad de que el dardo caiga sobre el área amarilla?
¿Cuál es la probabilidad de que el dardo caiga sobre el área roja?

Prev Next

Entender las Probabilidades Geométricas

Orientación

Ejemplo A

Ejemplo B

Ejemplo C

Vocabulario

Práctica Guiada

Revisión en Video

Práctica

Licencia