Adición de Polinomios

En esta sección, sumarás polinomios vertical y horizontalmente.

¿Has visto alguna vez un edificio con forma de pirámide? Observemos este problema.

"Aquí vamos de nuevo", dijo Michael mientras leía el siguiente problema a sus compañeros.

"Un edificio con forma de pirámide tiene pisos rectangulares que se vuelven cada vez más pequeños a medida que subes el edificio. El piso 87 tiene una longitud de $6x+16$ y un ancho de 28, y la longitud y ancho de cada piso disminuye en 4 unidades a medida que subes. Encuentra el área total de los pisos 87, 88 y 89.

Este es el siguiente problema.

Para trabajar en este, necesitarás entender el área, además de la adición y sustracción de polinomios. Pon mucha atención a las reglas presentadas en esta Sección y para el final, serás capaz de resolver este problema.

Orientación

Un polinomio es una expresión algebraica que muestra la suma de monomios .

Debido a que el prefijo mono significa "uno", un monomio es una sola pieza o término . El prefijo poli significa "muchos". Así que la palabra polinomio se refiere a uno o más que un término en una expresión. La relación entre estos términos pueden ser sumas o restas.

Polinomios : $x^2+ 5 \qquad 3x-8+4x^5 \qquad -7a^2+9b-4b^3+6$

Llamamos monomio , a una expresión con un solo término binomio , a una expresión con dos términos, y trinomio . a una expresión con tres términos. Una expresión con más de tres términos es llamada según su número de términos, por ejemplo, "polinomio de cinco términos".

Ahora, vamos a sumar los polinomios, pero primero repasemos cómo sumar números enteros con muchos dígitos.

Suma los números 5026 y 3210.

Tal vez los sumes así, ¿verdad?

$5026\\\\underline{+3210}\\\{8236}$

Si lo piensas, podrás notar que la misma suma también se puede hacer de esta forma.

$& \qquad \qquad \qquad \text{thousys} \quad \qquad \text{hundreds} \quad \qquad \text{tens} \quad \qquad \text{ones} \\\& \quad 5026 \quad \rightarrow \qquad \ \ 5000 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ 20 \qquad \qquad 6\\\& \underline{+ \ 3210 \quad \rightarrow \quad \ + \ 3000 \qquad \qquad \quad \ \ 200 \qquad \ \ \quad10 \qquad \qquad \qquad}\\\& \quad 8236 \quad \leftarrow \qquad \ \ 8000 \quad \ + \qquad \quad 200 \quad + \quad \ 30 \quad \ + \quad \ 6$

Aquí, mostramos que 5026 es igual a $5000 + 20 + 6$ . El número 3210 es igual a $3000 + 200 + 10$ .

Cada una de las unidades similares se ha alineado verticalmente (una encima de la otra), de forma que 3000 se encuentra debajo de 5000 en la unidad de mil y 10 se encuentra debajo de 20 en las decenas. Además, el número 200 se encuentra solo, debido a que el primer número no tiene dígitos en la centena. De la misma forma, el número 6 se encuentra solo, debido a que el segundo número no tiene dígitos en la unidad. Aunque esta no es una forma práctica de escribir un problema simple de adición, demuestra la técnica que podemos utilizar para sumar polinomios.

¿Recuerdas cómo identificar términos semejantes?

Los términos Semejantes tienen exactamente la(s) misma(s) variable(s) para la(s) misma(s) potencia(s). Cuando los términos son semejantes, podemos combinarlos a través de la suma de sus coeficientes.

$5x^3+9x^3=14x^3$

También aprendimos que los polinomios se definen como elementos que tienen uno o más términos en una expresión. .

Polinomios : $x^2+ 5 \qquad 3x-8+4x^5 \qquad -7a^2+9b-4b^3+6$

Los polinomios se pueden sumar de la misma forma en la que sumamos 5026 y 3210.

Observemos:

Suma los polinomios $(7x^2+9x-5)$ y $(6x^2+3x+10)$ .

$& (7x^2+9x-5) \quad \rightarrow \quad 7x^2 \quad + \quad 9x \quad + \quad -5 \\\& \qquad \quad + \\\ & \underline{(6x^2+3x+10) \ \ \rightarrow \quad 6x^2 \quad + \quad 3x \quad + \quad 10 \;} \\\& 13x^2+12x+5 \quad \leftarrow \ \ 13x^2 \ \ + \quad 12x \ \ + \quad \ 5$

Cada uno de los términos semejantes se alineó verticalmente, uno sobre el otro. Fíjate que el signo negativo en -5 se mantuvo con el número 5. Ten cuidado cuando sumes los enteros.

Un segundo método para sumar polinomios es hacerlo horizontalmente, en una sola línea. Puedes sumar polinomios igual que como sumarías $6 + 19 = 25$ sin ponerlos uno sobre el otro.

$& =(7x^2+3x-11)+(3x^2-9x+5)\\\&=7x^2+3x-11+3x^2-9x+5 \\\&=10x^2-6x-6$

Paso 1: Reescribe sin el paréntesis.

Paso 2: Combina los términos semejantes.

En el Paso 1, el polinomio se puede escribir sin el paréntesis, porque este último solo sirve para mostrar la separación de los polinomios. Fíjate que no los alineamos verticalmente según los términos semejantes como lo hicimos anteriormente. Sin embargo, tenemos que tener cuidado para reconocer y combinar los términos semejantes correctamente.

Este método puede ser un poco más difícil. Si encuentras que te confunde, entonces vuelve y suma los polinomios verticalmente.

Suma los siguientes polinomios.

Ejemplo A

$(4x^2+7x-2)+(3x^2+2x-1)$

Solución: $7x^2+9x-3$

Ejemplo B

$(-4x^2+7x-2)+(-7x^2+3x-17)$

Solución: $-11x^2+10x-19$

Ejemplo C

$(4xy+7x-2)+(-19xy-17x-9)$

Solución: $-15xy-10x-11$

Ahora, volvamos al problema del comienzo de esta Sección.

A continuación, se muestra la forma de encontrar el área de los otros tres pisos y también el área total.

$87^{th} \ \text{floor} \quad \text{Area} &= 28(6x + 16) = 168x + 448 \\\88^{th} \ \text{floor} \quad \text{Area} &= (28 - 4)(6x + 16 - 4) = 24(6x + 12) = 144x + 288\\\89^{th} \ \text{floor} \quad \text{Area} &= (28 - 4 - 4)(6x + 16 - 4 - 4) = 20(6x + 8) = 120x + 160 \\\\text{Total area} &= (168x + 448) + (144x + 288) + (120x + 160) \\\&=168x + 448 + 144x + 288 + 120x + 160 \\\&=432x + 896$

Vocabulario

Polinomio: es uno o más términos en una expresión, a menudo, se refieren a los polinomios en situaciones en las que hay más de tres términos.

Términos Semejantes: son términos que tienen la misma variable y potencia.

Área: es el espacio que se encuentra dentro de un objeto o área. Se mide en unidades cuadradas.

Práctica Guiada

A continuación, hay un ejercicio para que lo intentes resolver solo.

Suma los polinomios $(-2x^3+9x^2-3)$ y $(8x^2+5x-14)$ .

Solución

$& \quad (-2x^3+9x^2-3) \qquad \ \rightarrow \quad -2x^3 \quad + \quad 9x^2 \quad \ + \quad \quad \quad + \ \ -3\\\& \underline{\ +(8x^2+5x-14) \qquad \quad \rightarrow \ \qquad \qquad \qquad 8x^2 \ \ \ \ + \quad 5x \quad + \ -14 \ \ } \\\& -2x^3+17x^2+5x-17 \ \leftarrow \quad -2x^3 \quad + \quad 17x^2 \ \ + \quad 5x \quad + \ \ -17$

Nuevamente, se alineó verticalmente cada uno de los términos.

Fíjate que esta vez el espacio debajo de $-2x^3$ se encuentra vacío. Esto sucede porque no había un término semejante en el segundo polinomio que pudiera combinarse con $-2x^3$ .

Había un término semejante de $9x^2$ . $8x^2$ es el término semejante que se podría combinar con $9x^2$ así que se colocó debajo.

La suma fue $17x^2$ . No había un término semejante de $5x$ , Pero -3 y -14, las constantes, eran términos semejantes, así que las alineamos y combinamos.

El resultado fue $-2x^3+17x^2+5x-17$ .

Revisión en Video

Haz clic en la imagen superior para encontrar más información (requiere conexión a internet)

Adding Polynomials

*video disponible solo en inglés

Práctica

Instrucciones: Suma verticalmente los siguientes polinomios. Asegúrate de alinear los términos semejantes.

$(4x^2+7x-2)+(3x-17)$
$(-4x^4-x^3+8)+(-2x^3+5x+6)$
$(10x^3-4x^2-2x+5)+(-x^2+9x-5)$
$(6x^2+5x+9)+(4x^2+3x+6)$
$(9x^2-3x+4)+(6x^2-9x+2)$
$(3y^2+4x-9)+(-5y^2-6x+10)$
$(14x^2+6x-2)+(9x-1)$
$(-2x^2+7x-2)+(-3x^2-17)$
$(9x^2+7x-2y)+(3x^2-x+9y)$
$(4xy+7x-21)+(-12xy+4x-8)$
$(11x^2+9x-2y)+(3x^2-8x-5y-2)$

Instrucciones: Suma horizontalmente los siguientes polinomios.

$(-3x-8)+(15x+5)$
$(x^4+7x^3-2x+7)+(-8x^3+9x^2-4)$
$(4x^2y-3x^2y^2+7xy)+(9x^2y^2-5xy+3x^2)$
$(5xy-3x+19)+ (4xy-9x-22)$

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