Sustracción de Polinomios

En esta sección, restarás polinomios vertical y horizontalmente.

¿Has pensado alguna vez en el área de una piscina? Observemos este problema.

Un camino de concreto rodea una piscina rectangular. Para poder saber cuántos tratamientos para concreto comprar, el dueño debe saber cuántas unidades cuadradas de concreto tiene. Todos los lados del camino miden 5 pies de ancho. La piscina tiene una longitud de $7x$ y un ancho de 14 pies. ¿Cuántas unidades cuadradas de concreto tiene?

Para poder encontrar el área del concreto, primero tenemos que encontrar el área del rectángulo grande y luego restar el área de la piscina.

¿Sabes cómo resolver esto? Para lograrlo, necesitarás entender cómo restar polinomios. Aprenderás a hacer esto en esta Sección.

Orientación

Un polinomio es una expresión algebraica que muestra la suma de monomios .

Debido a que el prefijo mono significa "uno", un monomio es una sola pieza o término. . El prefijo poly significa "muchos". Así que la palabra polinomio se refiere a uno o más que un término en una expresión. La relación entre estos términos pueden ser sumas o restas.

Polinomios : $x^2+ 5 \qquad 3x-8+4x^5 \qquad -7a^2+9b-4b^3+6$

Llamamos monomio , a una expresión con un solo término binomio , a una expresión con dos términos, y trinomio . a una expresión con tres términos. Una expresión con más de tres términos es llamada según su número de términos, por ejemplo, "polinomio de cinco términos".

De la misma forma que podemos sumar polinomios, también podemos restarlos. Podemos realizar esta operación vertical u horizontalmente. Comencemos con la forma vertical.

Cuando restamos polinomios, podemos utilizar un procedimiento similar al de la adición, podemos restar verticalmente. Sin embargo, recuerda que la sustracción es lo mismo que "sumar el negativo". En otras palabras, $5 - 8$ es lo mismo que $5 + (-8)$ . Podemos sumar el negativo de 8, en vez de restar 8. Utilizaremos la misma idea con los polinomios.

Recuerda que restar es lo mismo que sumar el negativo. Escribe esto en tu cuaderno.

Observemos lo siguiente.

$(9x^2+4x-7)-(2x^2+6x-4)$

Coloca el problema de manera vertical mediante la alineación de los términos semejantes.

$& \quad (9x^2+4x-7) \quad \rightarrow \ \ \quad 9x^2 \quad + \ \ \quad 4x \quad + \quad -7 \quad \text{Lines up like terms.} \\\& \underline{-(2x^2+6x-4) \quad \rightarrow \quad -2x^2 \quad + \quad -6x \quad + \ \quad 4 \quad \ \text{Add the opposite.} \quad \ \ } \\\& \quad 7x^2-2x-3 \quad \ \ \leftarrow \quad \ \ 7x^2 \quad + \ \quad -2x \ \ + \quad -3 \quad \text{Combine lilke terms.}$

Cuando sumas el negativo, el signo cambia en cada uno de los términos en el polinomio restado. Dentro del paréntesis, el coeficiente de $2x^2$ es positivo. Pero cuando sumas el negativo, el signo cambia a negativo o $-2x^2$ . También cambiamos el signo de $6x$ a $-6x$ y de -4 a 4.

Ahora, podemos ver cómo restar polinomios horizontalmente.

Cuando sumamos polinomios, utilizamos dos métodos, sumar vertical y horizontalmente. Acabas de aprender a restar polinomios verticalmente. Como imaginaste, también puedes restar polinomios horizontalmente. Primero, repasaremos la propiedad distributiva.

La propiedad distributiva: Para todos los números reales $a, b,$ y $c, \ a(b + c) = ab + ac$ .

$5(3x+7)&=15x+35 \\\4(2y-7)&=8y-28 \\\-2(9x+3)&=-18x-6 \\\-3 (-2y-4)&=6y+12$

Recuerda tener cuidado con los signos negativos cuando se usa la propiedad distributiva.

Ahora, recordemos que los coeficientes son los factores numéricos de las variables. El coeficiente de $3x$ es 3. El coeficiente de $9x^2$ es 9. Cuando vemos el término $-x$ , el coeficiente es -1. Aunque podrías escribir $-1x$ , normalmente no lo hacemos, porque 1 se considera innecesario. ¿Cómo se relaciona esto con la propiedad distributiva? El signo negativo podría encontrarse en frente del paréntesis, así:: $-(3x - 2)$ . Esto es similar a $-x$ en donde el coeficiente es el -1 que no está escrito. Igual que como pudiste escribir $-1x$ , también puedes escribir $-1(3x - 2)$ . La propiedad distributiva es más evidente y cada término será ahora multiplicado por -1.

Observemos lo siguiente.

$& -(7x+5)=-1(7x+5)=-7x-5$

Luego, observemos esto.

$& -(x^2-3x+14)=-1(x^2-3x+14)=-x^2+3x-14 \\\& \qquad \qquad \quad \uparrow$

Aquí puedes insertar -1 y luego multiplicar. Al igual que cuando sumas el negativo, el signo cambia en cada uno de los términos en el polinomio.

Ahora, podemos utilizar este método para restar polinomios horizontalmente. Primero, distribuiremos el signo negativo a cada uno de los términos en el polinomio restado y, luego, combinaremos los términos semejantes igual que cuando sumamos polinomios.

Aquí hay otro ejercicio.

$& (5x+3)-(2x-8)\\\&=(5x+3)-1(2x-8) \\\&=5x+3-2x+8 \\\&=3x+11$

Podría parecer confuso, pero si avanzas paso a paso y recuerdas que restar es sumar el negativo, entonces serás capaz de restar polinomios vertical y horizontalmente.

Resta los siguientes polinomios.

Ejemplo A

$(8x^2+4x-7)-(2x^2+9x+3)$

Solución: $6x^2-5x-10$

Ejemplo B

$(10xy+4x-7)-(3x-4)$

Solución: $10xy+x-3$

Ejemplo C

$(14x^2+8x-7y+1)-(2x^2+2x-4y+2)$

Solución: $12x^2+6x-3y-1$

Ahora, volvamos al problema del comienzo de esta Sección.

La longitud del rectángulo grande es igual a $7x + 5 + 5$ . Su ancho es de $14 + 5 + 5$ .

Por lo tanto, su área será $(7x + 5 + 5) \cdot (14 + 5 + 5)$

El área de la piscina será su longitud multiplicada por su ancho o $7x \cdot 14$ .

El área de la piscina es $98x$ .

Para encontrar el área del concreto, resta el área de la piscina con el área total:

$&(168x + 240)-98x \\\&=70x + 240$

Esta es la respuesta.

Vocabulario

Polinomio: es uno o más términos en una expresión, a menudo, se refieren a los polinomios en situaciones en las que hay más de tres términos.

Términos Semejantes: son términos que tienen la misma variable y potencia.

Área: es el espacio que se encuentra dentro de un objeto o área. Se mide en unidades cuadradas.

Práctica Guiada

A continuación, hay un ejercicio para que lo intentes resolver solo.

$(-7x^3+3x^2-x+4)-(-6x^2+9)$

Solución

$& \quad (-7x^3+3x^2-x+4) \quad \rightarrow \ \ \quad -7x^3 \quad + \ \ \quad 3x^2 \quad + \quad -x \quad + \quad \quad 4 \quad \ \text{Lines up like terms.} \\\& \underline{\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; -(-6x^2+9) \quad \rightarrow \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ 6x^2 \quad + \ \quad \quad \quad \ + \quad -9 \ \ \ \text{Add the opposite.}\; \; \; \; \; \;} \\\& \quad -7x^3+9x^2-x-5 \quad \ \leftarrow \quad \quad -7x^3 \quad + \quad \ 9x^2 \quad + \quad -x \quad + \quad -5 \quad \ \text{Combine lilke terms.}$

Esta es la respuesta.

Revisión en Video

Haz clic en la imagen superior para encontrar más información (requiere conexión a internet)

Subtracting Polynomials

*video disponible solo en inglés

Práctica

Resta los siguientes polinomios verticalmente.

$(6x^2+5x)-(3x^2-14x+2)$
$(3x^2+5x+3)-(2x^2-x+4)$
$(5xy+5x+3)-(12xy-4x-8)$
$(5y^2+5y-2)-(3y^2-6y+5)$
$(8x+5y+1)-(9x+2y+5)$
$(7x^2+x-3)-(3x^2+3x+4)$
$(8x+5y+4)-(3x-9y-5)$
$(18x^3+2x^2+8x+2)-(3x^2-4x-9)$
$(8x+9y-20)-(3x-14)$
$(16x^2+5x-3y+7)-(3x-14y+10)$
$(18x^2+5xy-6x+21)-(3x^2-14xy-9x+1)$
$(7y^3+4y^2-3y-1)-(y^3+6y^2-4)$

Resta los siguientes polinomios horizontalmente.

$(m^2+17m-11)-(3m^2+8m+12)$
$(z^2+3z)-(3z^2+7z+16)-(4z-13)$
$(5x^2+3xy)-(3x^2+7xy+6)-(4xy-13)$

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