Reconocer y Aplicar la Propiedad de la Potencia de un Producto

En esta sección, reconocerás y aplicarás la propiedad de la potencia de un producto cuando multipliques monomios.

¿Has tratado alguna vez de elevar al cuadrado un monomio? ¿Sabes cómo hacerlo? Observemos este problema.

Una plataforma cuadrada tiene una longitud de $6a^2$ .

¿Cómo podemos encontrar el área de la plataforma?

Esta Sección te mostrará cómo utilizar la Potencia de un Producto en monomios. Luego, serás capaz de encontrar el área de la plataforma cuadrada.

Orientación

Cuando multiplicamos monomios, se aplica un exponente a la constante, variable o cantidad que se encuentra directamente a su izquierda. Sin embargo, solo aplicamos exponentes a variables simples.

Los exponentes también se pueden aplicar a productos mediante el uso de paréntesis.

Observa lo siguiente.

$(5x)^4$

Si aplicamos el exponente 4 a lo que sea que esté directamente a su izquierda, lo aplicaríamos al paréntesis, no solo a la $x$ . El paréntesis se encuentra directamente a la izquierda del 4. Esto indica que el producto completo en el paréntesis se eleva a la $4^{th}$ potencia. También podemos escribir esto en la forma expandida.

$& (5x)^4 \\\&=(5x)(5x)(5x)(5x)$

Ahora, multiplicamos los monomios como ya hemos aprendido: juntando los factores semejantes, multiplicando los coeficientes y simplificando mediante el uso de los exponentes.

$&=5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \\\&=625x^4$

Esta es la Propiedad de la Potencia de un Producto que señala que para cualquier número distinto de cero $a$ y $b$ y cualquier entero $n$

$(ab)^n=a^n b^n$

Aquí hay otro ejercicio.

$& (7h)^3 \\\&=(7h)(7h)(7h) \\\&=7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot h \cdot h \cdot h \\\&=343 h^3$

Puedes ver que aunque tengamos enteros positivos, negativos o ambos, aún podemos utilizar la Propiedad de Potencia de un Producto. Podrías haber notado un patrón entre los exponentes y el producto final. Cuando multiplicas bases semejantes, existe otro atajo: Puedes sumar los exponentes de las bases semejantes. Esta es otra forma de decirlo:

$a^m \cdot a^n=a^{m+n}$

Observemos lo siguiente.

$& (-2x^4)^5 \\\&=(-2x^4)(-2x^4)(-2x^4)(-2x^4)(-2x^4) \\\&=-2 \cdot -2 \cdot -2 \cdot -2 \cdot -2 \cdot x^4 \cdot x^4 \cdot x^4 \cdot x^4 \cdot x^4 \\\&=-2 \cdot -2 \cdot -2 \cdot -2 \cdot -2 \cdot x^{4+4+4+4+4}\\\&=-32x^{20}$

Escribe en tu cuaderno la definición de esta propiedad y un ejemplo.

Simplifica cada monomio.

Ejemplo A

$(6x^3)^2$

Solución: $36x^6$

Ejemplo B

$(2x^3y^3)^3$

Solución: $8x^9y^9$

Ejemplo C

$(-3x^2y^2z)^4$

Solución: $81x^8y^8z^4$

Ahora, volvamos al problema del comienzo de esta Sección.

Aquí tenemos la longitud de lado de la plataforma cuadrada.

$6a^2$

Queremos encontrar el área de la plataforma. Para definirla, utilizaremos la siguiente fórmula:

$A = s^2$

Ahora, reemplazamos la longitud de lado en la fórmula.

$A = (6a^2)^2$

Luego, podemos elevar al cuadrado el monomio.

$36a^4$

Esta es nuestra respuesta.

Vocabulario

Monomio: es un término único de variables, coeficientes y potencias.

Coeficiente: es el número de partes de un monomio o término.

Variable: es la letra que acompaña a un término.

Exponente: es el número pequeño, la potencia, que nos dice cuántas veces multiplicar la base por sí misma.

Base: es el número que es afectado por el exponente.

Forma Expandida: es cuando escribimos toda la multiplicación sin el uso de un exponente.

Propiedad de la Potencia de un Producto: $(ab)^n=a^n(b^n)$

Práctica Guiada

A continuación, hay un ejercicio para que lo intentes resolver solo.

$(-2x^4)^5$

Solución

$& (-2x^4)^5 \\\&=(-2x^4)(-2x^4)(-2x^4)(-2x^4)(-2x^4) \\\&=(-2 \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x)(-2 \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x)(-2 \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x)(-2 \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x) \\\&=-2 \cdot -2 \cdot -2 \cdot -2 \cdot -2 \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \\\&=-32x^{20}$

Revisión en Video

Haz clic en la imagen superior para encontrar más información (requiere conexión a internet)

Multiplying Monomios

*video disponible solo en inglés

Práctica

Instrucciones: Simplifica.

$(6x^5)^2$
$(-13d^5)^2$
$(-3p^3 q^4)^3$
$(10xy^2)^4$
$(-4t^3)^5$
$(18 r^2 s^3)^2$
$(2r^{11}s^3 t^2)^3$
$(7x^2)^2$
$(2y^2)^3$
$(5x^2)^3$
$(12y^3)^2$
$(5x^5)^5$
$(2x^2y^2z)^3$
$(3x^4y^3z^2)^3$
$(-5x^4y^3z^3)^3$

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