Reconocer y Aplicar la Propiedad de la Potencia de un Cociente

En esta sección, reconocerás y aplicarás la propiedad de la potencia de un cociente

¿Has estado alguna vez en un laboratorio de ciencias? Observemos este problema.

Uno de los lugares que los estudiantes pudieron visitar cuando fueron al centro de la ciudad fue un laboratorio que se encontraba en la universidad de la ciudad. En el centro, la universidad tenía sus salas de clases y una de ellas era un laboratorio.

"Ella es una muy buena amiga mía, la profesora Smith", dijo el Sr, Travis presentando a los estudiantes una mujer rubia sonriente.

"Bienvenidos", dijo la profesora Smith, "¿están disfrutando su viaje al centro?"

Muchos de los estudiantes respondieron que sí y luego fueron llevados a una de las mesas del laboratorio, en donde se estaba llevando a cabo mucho trabajo.

"¿Qué está sucediendo aquí?, preguntó Sam.

"Bueno, comencé con una muestra muy pequeña de cobalto. Ahora, tengo 10 gramos de cobalto y tomé un tercio de un tercio de un tercio de un tercio de este", explicó.

Los estudiantes comenzaron a sacar la cuenta en su mente.

¿Puedes resolver esto? ¿Cuántos gramos termino teniendo la muestra? Para el final de esta Sección, serás capaz de resolver este problema.

Orientación

Esto podría sonar confuso, pero en matemáticas, podemos reescribir esto como $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ o $\left(\frac{1}{2} \right)^4$ . También podemos utilizar exponentes con fracciones o cocientes. Para responder la pregunta anterior, multiplicaríamos los numeradores y denominadores de forma cruzada, así: $\frac{1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}=\frac{1}{16}$ . La mitad de una mitad de una mitad de una mitad es uno partido por dieciséis. Una vez más, tenemos una multiplicación repetida del mismo número que podríamos escribir de forma más sencilla como $\frac{1^4}{2^4}=\frac{1}{16}$ .

La Propiedad de la Potencia de un Cociente señala que para cualquier número diferente a cero $a$ y $b$ y cualquier entero $n$ :

$\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$

A continuación, hay un ejercicio para que lo intentes resolver.

$\left(\frac{5}{3}\right)^4=\frac{5^4}{3^4}=\frac{625}{81}$

Puedes ver en esta situación que hemos simplificado las expresiones resolviendo cinco elevado a la cuarta y tres elevado a la cuarta. El próximo paso en este problema sería dividir.

Observemos lo siguiente.

$\left(\frac{3k}{2j}\right)^4=\frac{(3k)^4}{(2j)^4}=\frac{(3k)(3k)(3k)(3k)}{(2j)(2j)(2j)(2j)}=\frac{81k^4}{16j^4}$

Este problema tiene variables diferentes, así que esto es lo más lejos que podemos llevar este problema.

Simplifica cada cociente.

Ejemplo A

$\left(\frac{4}{5}\right)^3$

Solución: $\frac{64}{125} = .512$

Ejemplo B

$\left(\frac{2a}{3b}\right)^2$

Solución: $\frac{4a^2}{9b^2}$

Ejemplo C

$\left(\frac{a}{5b}\right)^3$

Solución: $\frac{a^3}{125b^3}$

Ahora, volvamos al problema del comienzo de esta Sección.

Para encontrar el número de gramos en la muestra, tenemos que usar lo que hemos aprendido sobre monomios y potencias.

La profesora Smith comenzó con 10 gramos.

Luego, tomó un tercio de un tercio de un tercio de un tercio de este. Esto es $\frac{1}{3}$ elevado a la cuarta potencia.

A continuación, se muestra cómo podemos representar el problema.

$10 \left(\frac{1}{3}\right)^4=10 \left(\frac{1^4}{3^4}\right)=10 \left (\frac{1}{81}\right)=\frac{10}{81} \ grams$

Podemos convertir eso a decimal mediante la división del numerador y el denominador.

En decimales, nuestra respuesta es 0,12 gramos.

Vocabulario

Monomio: es un término único de variables, coeficientes y potencias.

Coeficiente: es el número de partes de un monomio o término.

Variable: es la letra que acompaña a un término.

Exponente: es el número pequeño, la potencia, que nos dice cuántas veces multiplicar la base por sí misma.

Base: es el número que es afectado por el exponente.

Forma Expandida: es cuando escribimos toda la multiplicación sin el uso de un exponente.

Propiedad de la Potencia de un Producto: $(ab)^n=a^n(b^n)$

Propiedad de la Potencia de un Cociente: es cuando el exponente se aplica a los números superiores e inferiores en una expresión.

Práctica Guiada

A continuación, hay un ejercicio para que lo intentes resolver solo.

Simplifica el siguiente cociente.

$\left(\frac{-4x}{3y}\right)^3$

Solución

Primero, trabajemos con el numerador.

$(-4x)^3 = -64x^3$

Ahora, trabajemos con el denominador.

$(3y)^3 = 27y^3$

Esta es nuestra respuesta final.

$\frac{-64x^3}{27y^3}$

Revisión en Video

Haz clic en la imagen superior para encontrar más información (requiere conexión a internet)

Multiplying y Dividing Monomios

*video disponible solo en inglés

Práctica

Instrucciones: Simplifica.

$\left(\frac{2}{3}\right)^4$
$\left(\frac{1}{3}\right)^3$
$\left(\frac{7}{8}\right)^2$
$\left(\frac{2}{5}\right)^4$
$\left(\frac{7k}{-2m}\right)^3$
$\left(\frac{3x}{-2y}\right)^3$
$\left(\frac{4x}{-3y}\right)^4$
$\left(\frac{5y}{-2z}\right)^5$
$\left(\frac{-2y}{4z}\right)^4$
$\left(\frac{4xy}{-2z^5}\right)^5$
$\left(\frac{12x^2y^4}{-6z^3}\right)^2$
$\left(\frac{7x^2y}{-2z^3}\right)^3$
$\left(\frac{2x^3y^2}{-2z^3}\right)^3$
$\left(\frac{x^{11}}{y^9}\right)^5$
$\left(\frac{-5x^3}{3h^2 j^8}\right)^5$

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