Reconocer y Aplicar la Propiedad de la Potencia de una Potencia

En esta sección, reconocerás y aplicarás la propiedad de la potencia de una potencia.

¿Has intentado alguna vez multiplicar una potencia por una potencia en un monomio? Observemos este problema.

$(x^2y^3z^3)^3$

Esta es una expresión de monomio que se eleva a la tercera potencia. ¿Sabes cómo simplificar esta expresión?

Pon atención a esta Sección y para el final, sabrás cómo resolver este problema.

Orientación

Hemos elevado monomios a una potencia, productos a una potencia y cocientes a una potencia. Puedes notar que los exponentes son una herramienta útil para simplificar expresiones. Si sigues las reglas de los exponentes, los patrones se vuelven claros. Ya hemos visto potencias elevadas a una potencia. Por ejemplo, observa el cociente:

$\left(\frac{x^7}{y^9}\right)^4=\frac{(x^7)^4}{(y^9)^4}=\frac{(x^7)(x^7)(x^7)(x^7)}{(y^9)(y^9)(y^9)(y^9)}=\frac{x^{7+7+7+7}}{y^{9+9+9+9}}=\frac{x^{28}}{y^{36}}$

Si te fijas solo en el numerador, puedes notar que $(x^7)^4=x^{28}$ . Puedes obtener el exponente 28 mediante la multiplicación de 7 por 4. Este es un ejemplo de la Propiedad de Potencia de una Potencia que señala que para cualquier número distinto de cero $a$ y $b$ y cualquier entero $n$ :

$(a^m)^n=a^{m \cdot n}$

Aquí hay otro ejercicio.

$(x^5)^3=x^{5.3}=x^{15}$

Observemos lo siguiente:

$(x^6 y^3)^7=x^{6 \cdot 7} y^{3 \cdot 7}=x^{42} y^{21}$

Aplica la Propiedad de la Potencia de una Potencia a cada ejemplo.

Ejemplo A

$(x^7)^3$

Solución: $x^{21}$

Ejemplo B

$(x^3y^4)^3$

Solución: $x^9y^{12}$

Ejemplo C

$(a^7)^8$

Solución: $a^{56}$

Ahora, volvamos al problema del comienzo de esta Sección.

$(x^2y^3z^3)^3$

Luego, tenemos que elevar cada parte del monomio a la tercera potencia.

$(x^2)^3 = x(2 \times 3) = x^6$

$(y^3)^3 = y(3 \times 3) = y^9$

$(z^3)^3 = z(3 \times 3) = z^9$

Ahora podemos juntar todo.

$x^6y^9z^9$

Esta es nuestra solución.

Vocabulario

Monomio: aes un término único de variables, coeficientes y potencias.

Coeficiente: es el número de partes de un monomio o término.

Variable: es la letra que acompaña a un término.

Exponente: es el número pequeño, la potencia, que nos dice cuántas veces multiplicar la base por sí misma.

Base: es el número que es afectado por el exponente.

Forma Expandida: es cuando escribimos toda la multiplicación sin el uso de un exponente.

Propiedad de la Potencia de un Producto: es cuando el exponente se aplica a todos los términos dentro del paréntesis mediante la multiplicación de las potencias.

Práctica Guiada

A continuación, hay un ejercicio para que lo intentes resolver solo.

$(x^2y^4z^3)^4$

Solución

Primero, vamos a separar cada parte del monomio y elevarlo a la cuarta potencia.

$(x^2)^4 = x^8$

$(y^4)^4 = y^{16}$

$(z^3)^4 = z^{12}$

Nuestra respuesta final es $x^8y^{16}z^{12}$ .

Revisión en Video

Haz clic en la imagen superior para encontrar más información (requiere conexión a internet)

Multiplying y Dividing Monomios

*video disponible solo en inglés

Práctica

Instrucciones: Simplifica cada expresión de monomio mediante la aplicación de la Propiedad de Potencia de una Potencia.

$(x^2)^2$
$(y^4)^3$
$(x^2y^4)^3$
$(x^3y^3)^4$
$(y^6z^2)^6$
$(x^3y^4)^5$
$(a^5b^3)^3$
$(a^4b^4)^5$
$(a^3b^6c^7)^3$
$(x^{12})^3$
$(y^9)^6$
$(a^2b^8c^9)^4$
$(x^4b^3c^3)^5$
$(a^4b^3c^7d^8)^6$
$(a^3b^{11})^5$
$(x^6y^{10}z^{12})^5$

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