Multiplicar Binomios

En esta sección, multiplicarás binomios vertical y horizontalmente mediante el uso de una tabla.

¿Has estado alguna vez en un jardín comunitario? Observemos este problema.

A los estudiantes les encantó caminar por el jardín comunitario que se encontraba colindante a la municipalidad. Todas las flores se encontraban en pleno florecimiento. Uno de los trabajadores comunitarios se encontraba allí y les presentó a los estudiantes el siguiente problema. Los estudiantes no sabían si su profesor, el Sr, Travis, tenía algo que ver con esto, pero comenzaron a resolver el problema de todas formas. Aquí está:

Un granjero tiene dos campos rectangulares. Uno mide $3x + 7$ por $2x - 4$ . El otro mide $x^2 + 1$ por $6x + 5$ . Encuentra el área combinada de los dos campos.

Para resolver esto, necesitarás entender la multiplicación de binomios. Entender los binomios será fundamental para resolver este problema, debido a que encontramos el área de un rectángulo a través de la multiplicación y ambos de estos campos tienen medidas escritas en binomios.

Orientación

Definimos a los binomios como polinomios con dos términos .

Cuando sumamos y restamos polinomios, tuvimos cuidado de combinar términos semejantes . Cuando multiplicamos polinomios también tuvimos cuidado de aplicar las reglas de los exponentes.

Cuando multiplicamos binomios, podemos usar una tabla para ayudarnos a organizar y mantener un seguimiento de la información. Esta tabla te ayudará a organizar y realizar un seguimiento de tu trabajo. Observemos.

Multiplica los binomios $(x+5)(x+3)$ .

Podemos utilizar una tabla similar a un rectángulo, como si cada uno de los binomios fuera una dimensión del rectángulo.

Insertamos los dos binomios en los lados de la tabla similar a un rectángulo.

Ahora, encontraremos el área de los cuatro rectángulos separados.

La dimensión del primer rectángulo es $x \cdot x$ , del segundo es $5 \cdot x$ , del tercero es $3 \cdot x$ , del cuarto es $3 \cdot 5$ .

Para poder encontrar el total, sumaremos las 4 áreas: $x^2 + 5x +3x +15$

Ahora, combinamos cuidadosamente los términos semejantes: $x^2 + 8x + 15$ .

Esta es nuestra respuesta.

Aquí hay un ejercicio un poco diferente.

Multiplica $(5x - 8)^2$ .

Recuerda que el exponente se aplica al binomio completo, así $(5x -8)^2 = (5x - 8)(5x - 8)$ .

	$5x$	$-8$
$5x$	$25x^2$	$-40x$
$-8$	$-40x$	$64$

$& 25x^2-40x-40x+64 \\\&=25x^2-80x +64$

Un segundo método para multiplicar binomios es parecido al algoritmo que usamos comúnmente para multiplicar números con dos dígitos.

$& \qquad \qquad \qquad \quad \text{thousys} \qquad \quad \text{hundreds} \qquad \quad \text{tens} \qquad \quad \text{ones} \\\& \quad \quad 73 \ \quad \rightarrow \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 70 \ \quad + \qquad 3 \\\& \ \underline{\quad \times 81} \ \quad \rightarrow \ \ \underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \quad 81 \ \quad + \qquad 1} \\\& \quad \quad 73\ \quad \rightarrow \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 70 \ \quad + \qquad 3 \\\& \ \underline{+4580} \ \quad \rightarrow \ \ \underline{\ \ \qquad 4000 \qquad + \qquad \ 500 \quad + \ \quad 80 \ \quad + \qquad 0} \\\& \quad 4653 \ \quad \leftarrow \ \quad \qquad 4000 \qquad + \ \qquad 500 \quad + \quad 150 \ \quad + \qquad 3$

Cuando expandes la multiplicación como se muestra en el lado derecho de la imagen, puedes ver que en nuestro algoritmo para la multiplicación de números con dos dígitos, alineamos los números en posiciones parecidas.

Utilizaremos esta misma idea para multiplicar binomios, pero en vez de usar posiciones decimales, alinearemos los productos por términos semejantes.

Observemos lo siguiente.

Multiplica $(3x + 2)(5x + 4)$

$& 2^{nd} \text{power} \qquad \ \quad 1^{st} \text{power} \qquad \quad 0 \ \text{power} \\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \ \quad 3x \quad + \qquad \ \quad 2 \\\& \underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 5x \quad + \qquad \ \quad 4 \;\;} \\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \quad 12x \quad + \qquad \ \quad 8 \\\& \underline{\qquad 15x^2 \quad + \qquad \ \quad 10x \ \quad + \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\\& \qquad 15x^2 \quad + \qquad \ \quad 22x \quad + \qquad \ \quad 8 \quad \rightarrow \quad 15x^2 + 22x + 8$

Igual que en una multiplicación con numerales, primero multiplicamos 4 por 2 y obtenemos 8. Luego, multiplicamos 4 por $3x$ y obtenemos $12x$ . Cuando multiplicamos $5x$ por 2, obtenemos $10x$ . Esto no es un término semejante de 8, sino de $12x$ así que se alineó el $10x$ debajo de $12x$ . Finalmente, el producto de $5x$ y $3x$ es $15x^2$ . Esto se encuentra elevado a la $2^{nd}$ potencia, así que no son términos semejantes. Nuestra suma en la parte inferior derecha de la imagen anterior muestra el producto final.

Una tercera forma de multiplicar binomios es utilizar el método "FOIL". FOIL es un acrónimo que nos señala qué términos multiplicar para obtener nuestro producto:

F—Primeros términos en los binomios.

O—Términos externos en los binomios.

I—Términos internos en los binomios.

L—últimos términos en los binomios.

Multipliquemos $(2x+8)(5x-13)$ utilizando el método FOIL.

F	Los primeros términos son $2x$ y $5x$	$(\mathbf{\underline{2x}}+8)(\mathbf{\underline{5x}}-13)$	$10x^2$
O	Los términos externos son $2x$ y -13	$(\mathbf{\underline{2x}}+8)(5x\underline{\mathbf{-13}})$	$-26x$
I	Los términos internos son y $5x$	$(2x\underline{\mathbf{+8}})(\mathbf{\underline{5x}}-13)$	$40x$
L	Los últimos términos son 8 y -13	$(2x\underline{\mathbf{+8}})(5x\underline{\mathbf{-13}})$	-104

La tabla anterior nos ayuda a ilustrar los términos que se tienen que multiplicar. Sin embargo, no necesitamos hacer una tabla como esa en cada multiplicación. Podemos mostrarlo así:

$(2x+8)(5x-13)=10x^2 - 26x + 40x - 104 = 10x^2 + 14x - 104$

De los tres métodos que hemos visto para la multiplicación, estarás de acuerdo que este último es el más corto. Por supuesto, los tres métodos deberían generar el mismo producto.

Escribe en tu cuaderno el acrónimo FOIL y lo que significa cada letra.

Observa un ejercicio más.

Multiplica. $(5x^3+2x)(7x^2+8)$

$&(5x^3+2x)(7x^2+8) \\\&= 5x^3 \cdot 7x^2 + 5x^3 \cdot 8 + 2x \cdot 7x^2 + 2x \cdot 8 \\\&= 35x^5 +40x^3 +14x^3 +16x \\\&= 35x^5 +54x^3 +16x$

Multiplica los siguientes binomios.

Ejemplo A

$(x+2)(x+4)$

Solución: $x^2+6x+8$

Ejemplo B

$(x-6)(x+5)$

Solución: $x^2-x-30$

Ejemplo C

$(x+3)(x-3)$

Solución: $x^2-9$

Ahora, volvamos al problema del comienzo de esta Sección.

Recuerda que necesitamos descubrir el área de ambos rectángulos y luego la suma de esas dos áreas nos dará el área total. A continuación, se muestra cómo podemos resolver este problema.

$&(3x+7)(2x-4)+(x^2+1)(6x+5) \\\&= (3x \cdot 2x + 3x \cdot -4 + 7 \cdot 2x + 7 \cdot -4) + (x^2 \cdot 6x +x^2 \cdot 5 + 1 \cdot 6x + 1 \cdot 5) \\\&= (6x^2 -12x +14x -28) + (6x^3 +5x^2 + 6x +5) \\\&= 6x^2 + 2x - 28 +6x^3 + 5x^2 +6x +5 \\\&= 6x^3 + 11x^2 + 8x -23$

Vocabulario

Binomios: son polinomios con dos términos.

Trinomio Cuadrado Perfecto: es un trinomio en el que el primer y el último término son cuadrados perfectos, ya que el binomio se encuentra al cuadrado o a la segunda potencia.

FOIL: es un orden para la multiplicación de binomios: primeros, externos, internos y últimos.

Práctica Guiada

A continuación, hay un ejercicio para que lo intentes resolver solo.

Multiplica usando una tabla.

Multiplica $(x-4)(x+6)$

Solución

	$x$	$-4$
$x$	$x^2$	$-4x$
$+6$	$6x$	$-24$

$& x^2-4x+6x-24 \\\&= x^2+2x-24$

Fíjate en lo cuidadoso que debes ser con los signos positivos y negativos.

Revisión en Video

Haz clic en la imagen superior para encontrar más información (requiere conexión a internet)

Multiplying Binomials

*video disponible solo en inglés

Práctica

Instrucciones: Utiliza una tabla para multiplicar los siguientes binomios.

$(x+3)(x+5)$
$(x-3)(x-5)$
$(x+3)(x-3)$
$(x+2)(x-8)$
$(3x^2+3x)(6x-2)$
$(2x-7y)(5x+4y)$
$(2x-9)^2$

Instrucciones: Multiplica verticalmente los siguientes binomios.

$(d+2)(4d-1)$
$(5x+7)(5x-7)$
$(4b^2+3c)(2b-5c^2)$

Instrucciones: Multiplica los siguientes binomios utilizando el método FOIL:

$(p+6)(5p+2)$
$(-7y^2-4y)(6y+2)$
$(x^3+3x)^2$
$(2x+1)(x-4)$
$(3x-3)(5x+9$ )
$(x+5)^2$

Prev Next