Entender los Gráficos de una Parábola

En esta sección, entenderás los gráficos de una parábola de las ecuaciones dadas.

¿Has visto alguna vez una parábola? Observemos este problema.

Los estudiantes en la clase del Sr. Nelson fueron a hacer un tour en el centro de la ciudad. Mientras admiraban las vistas, también aprendían sobre la ciudad en la que viven. Los estudiantes llegaron al parque y se detuvieron en la entrada. La entrada al parque era un hermoso arco decorado con hiedra y enredaderas con flores.

"Esto es hermoso", dijo Kelsey mirando la entrada.

"Sí, luce como una parábola", comentó Kenny.

"¿Una qué?, exclamó Kelsey.

"Una parábola, ¿No sabes lo que es una parábola?", preguntó Kenny.

¿Sabes lo que es una parábola? Esta sección aborda las parábolas. Pon mucha atención, porque al final de esta sección, tendrás que definir el término parábola.

Orientación

Los gráficos y las ecuaciones son partes fundamentales de las matemáticas. Las ecuaciones pueden mostrar relaciones entre diferentes variables, como $x$ y $y$ . Los gráficos pueden mostrar todos los pares de números, $x$ y $y$ , que hacen verdadera una ecuación; muestran todas las soluciones. A veces, los gráficos representan pares infinitos de tales números.

Has estudiado las relaciones de las ecuaciones lineales; sus gráficos eran rectas extendidas. Pero no todos los gráficos serán lineales.

Algunos gráficos tienen una forma de U. Estos gráficos con forma de U reciben el nombre de parabolas .

En esta sección, aprenderás sobre las parábolas.

Cuando graficamos ecuaciones lineales, hicimos tablas de valores o tablas T , utilizando la ecuación dada. Por ejemplo, para la ecuación $y = x + 4$ , utilizamos valores de $x$ en la tabla T para encontrar los valores de $y$ correspondientes.

$x$	$y$
$-4$	$0$
$-3$	$1$
$-2$	$2$
$-1$	$3$
${\color{white}-}0$	$4$
${\color{white}-}1$	$5$
${\color{white}-}2$	$6$

Luego, usamos la tabla T para crear un gráfico sobre el plano cartesiano.

Ahora que has visto tantos exponentes, sabes cuál es la potencia de $x$ en la ecuación anterior.

Pero, ¿qué sucede si cambiamos la potencia de 2?

Intentémoslo.

Comienza con una ecuación: $y = x^2$

Crea una tabla T igual a la de las ecuaciones lineales.

Asegúrate de incluir números negativos, ceros y números positivos. Luego, sustituye los valores de $x$ en la ecuación para encontrar los valores de $y$ .

Comienza con -3.

Entonces, para el valor de $x$ de -3, el valor de $y$ es 9. Utiliza el mismo proceso para completar tu tabla T.

$x$	$y$
$-3$	$9$
$-2$	$4$
$-1$	$1$
${\color{white}-}0$	$0$
${\color{white}-}1$	$1$
${\color{white}-}2$	$4$
${\color{white}-}3$	$9$

Ahora, puedes graficar los valores sobre el plano cartesiano.

Observa la diferencia en el gráfico.

Esta forma recibe el nombre de parabola .

Las ecuaciones elevadas a la $2^{nd}$ potencia reciben el nombre de ecuaciones cuadráticas y sus gráficos siempre son parábolas.

Compara el gráfico de la ecuación $y=x^2-2$ con el anterior.

$x$	$y$
$-3$	${\color{white}-} 7$
$-2$	${\color{white}-} 2$
$-1$	$-1$
${\color{white}-} 0$	$-2$
${\color{white}-} 1$	$-1$
${\color{white}-} 2$	${\color{white}-} 2$
${\color{white}-} 3$	${\color{white}-} 7$

Aquí podemos ver que la forma es la misma, pero se mueve hacia abajo dos puntos sobre el eje $y$ Esto se debe a la constante -2.

Es tu turno de graficar.

Primero, utiliza las ecuaciones dadas para completar una tabla T. Asegúrate de incluir números negativos, ceros y números positivos en tu tabla T. Además, ten cuidado con el orden de tus operaciones al calcular los valores de $y$ .

Luego, grafica tus puntos sobre el plano cartesiano. Puedes comprobar tus gráficos utilizando lo que sabes sobre los valores de $a, b,$ y $c$ . También sabemos que las parábolas deben ser simétricas.

Si tu gráfico no se ajusta a lo que sabes sobre las parábolas, entonces podría indicar un error en tus cálculos o en el gráfico.

Grafica la ecuación $y=x^2-4$ .

Comienza con una tabla T. Ingresa tus valores de $x$ .

$x$	$y$
$-3$
$-2$
$-1$
${\color{white}-} 0$
${\color{white}-} 1$
${\color{white}-} 2$
${\color{white}-} 3$

Luego, sustituye tu primer valor de $x$ en la ecuación.

$y&=(-3)^2-4\\\y&=9-4\\\y&=5$

Has esto con todos los valores de $x$ de forma que puedas rellenar apropiadamente los valores de $y$ .

Ubica tus valores de $y$ en la tabla T junto a su valor $x$

Tu tabla T terminada debería lucir como la anterior.

Utiliza los puntos de tu tabla T para crear un gráfico. Tu primer punto es (-3, 5).

Grafica todos los puntos y conéctalos con una forma de parábola regular.

Grafica la ecuación $y=-\frac{1}{2}x^2+5$ .

Ejemplo A

Primero, crea la tabla T.

Solución:

$x$	$y$
$-3$	$0.5$
$-2$	$3$
$-1$	$4.5$
${\color{white}-} 0$	$5$
${\color{white}-} 1$	$4.5$
${\color{white}-} 2$	$3$
${\color{white}-} 3$	$0.5$

Ejemplo B

Ahora, grafica la parábola.

Solución:

Ejemplo C

¿En dónde se encuentra el vértice de esta parábola?

Solución: $5$

Ahora, volvamos al problema del comienzo de esta Sección.

Una parábola es la forma que se crea por una ecuación cuadrática. Forma un arco. Una parábola tiene un vértice que es un punto máximo o un punto mínimo. Si el valor al cuadrado es positivo, entonces la parábola se abre hacia arriba. Si el valor al cuadrado es negativo, entonces la parábola se abre hacia abajo.

Vocabulario

Parabola: es una gráfico en forma de U que no es lineal.

Ecuaciones Cuadráticas: son ecuaciones elevadas a la segunda potencia cuyo gráfico siempre es una parábola.

Vértice de una Parábola: es el punto inferior o superior de una parábola.

Práctica Guiada

A continuación, hay un ejercicio para que lo intentes resolver solo.

Crea el gráfico de $y=-x^2$ .

Solución

$x$	$y$
$-3$	-9
-2	-4
-1	-1
0	0
1	-1
2	-4
3	-9

Esta vez, el gráfico se encuentra invertido. En vez de abrirse hacia arriba, se abre hacia abajo. Esto se debe al coeficiente -1.

Revisión en Video

Haz clic en la imagen superior para encontrar más información (requiere conexión a internet)

Basic Parabola Graph

*video disponible solo en inglés

Práctica

Instrucciones: Responde las siguientes preguntas sobre parábolas.

Verdadero o Falso. Una parábola siempre está formada por una ecuación cuadrática.
Verdadero o Falso. Una parábola puede tener un vértice que es positivo o negativo.
Verdadero o Falso. Si el vértice es positivo, entonces la parábola se localizará sobre el eje x.
Verdadero o Falso. Si el vértice es negativo, entonces el vértice se localizará bajo el eje x.
Verdadero o Falso. Todas las parábolas son simétricas.

Instrucciones: Has coincidir los tres gráficos con sus ecuaciones.

$y=3x^2-2$
$y=x^2+x-3$
$y=-\frac{1}{2}x^2+2$

Gráfico A

Gráfico B

Gráfico C

Ahora, responde estas preguntas sobre los gráficos.

¿Cuál es el vértice del gráfico A?
¿Cuál es el vértice del gráfico B?
¿Cuál es el vértice del gráfico C?
¿Cuál gráfico es el más angosto?

Grafica las siguientes ecuaciones utilizando una tabla T:

$y=x^2-1$
$y=-x^2+x$
$y=\frac{1}{2}x^2+1$

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