Entender las Ecuaciones de Parábolas

En esta sección, entenderás e identificarás la ecuación de una parábola.

¿Has visto alguna vez una parábola? ¿Puedes escribir la ecuación de una parábola? Observemos este problema.

Esta parábola fue creada gracias a una ecuación.

Utiliza esta Sección para aprender a identificar la ecuación de una parábola desde un gráfico.

Orientación

Las ecuaciones cuadráticas poseen gráficos que son parábolas.

Una parábola es un gráfico en forma de U. Las ecuaciones cuadráticas poseen gráficos que son parábolas.

A continuación, se muestra una ecuación cuadrática.

$y=x^2-2$

Las ecuaciones elevadas a la $2^{nd}$ potencia reciben el nombre de ecuaciones cuadráticas y sus gráficos siempre son parábolas.

El gráfico de una parábola puede cambiar de posición, dirección y ancho basado en los coeficientes de $x^2$ y $x$ además de la constante. Debido a que esos pedazos de la ecuación son tan importantes, los nombramos en lo que se conoce como la forma estándar .

La forma estándar de una ecuación cuadrática: $y=ax^2+bx+c$ (donde $a$ debe ser distinta de cero). Nota que $a, b$ y $c$ serán coeficientes y pueden ser positivos o negativos. Esto también afectará a la parábola graficada.

Una vez más, el valor de $a$ puede predecir dos cosas: 1) cuán ancho será el gráfico y 2) si el gráfico se abre hacia arriba o hacia abajo. Generalmente, mientras más lejos de cero se encuentre el valor de $a$ más angosto es el gráfico; mientras más cerca de cero se encuentra el valor de $a$ más ancho es el gráfico. Además, un valor positivo de $a$ nos dará un gráfico que se abre hacia arriba, mientras que un valor negativo de $a$ nos dará un gráfico que se abre hacia abajo.

¿Qué pasa con el valor de $b$ ? Podrías haber notado que todas las parábolas son simétricas, son iguales a ambos lados, como si se reflejaran en un espejo que estuviera justo en el medio del gráfico.

Esta recta de reflexión recibe el nombre de eje de simetría el cual estudiaremos en las lecciones siguientes.

El valor de $b$ nos ayuda a predecir el eje de simetría.

Finalmente, el valor de $c$ determina el intercepto en $y$ nos dice dónde el gráfico tocará el eje $y$ .Cuando el valor de $c$ era 3, el gráfico cruzó el eje $y$ en el punto 3.

Escribe en tu cuaderno información sobre los valores de $a, b$ y $c$ de las ecuaciones cuadráticas.

Observemos algunos gráficos.

Podemos definir algunas cosas al observar estos gráficos y al utilizar nuestro conocimiento sobre lo que los valores de $a,b$ y $c$ de la ecuación cuadrática nos ayudan a determinar. A continuación, se muestra una tabla para ayudarte a entender lo que podemos determinar mediante estos gráficos.

Gráfico A	Gráfico B	Gráfico C
Se abre hacia arriba	Se abre hacia abajo	Se abre hacia arriba
Bastante ancho	No es estrecho ni ancho	Bastante estrecho
Simétrico en el eje $y$	La simetría está a la derecha del eje $y$	Simétrico en el eje $y$ .
Intercepto en $y$ es 3	Intercepto en $y$ es 2	Intercepto en $y$ es -3
La ecuación es $y=\frac{1}{2}x^2+3$	La ecuación es $y=-x^2+x+2$	La ecuación es $y=2x^2-3$
$a=\frac{1}{2},b=0,c=3$	$a=-1,b=1,c=2$	$a=2,b=0,c=-3$

Ahora, puedes ver cómo los gráficos de cada ecuación nos proporcionan información.

Has aprendido a escribir ecuaciones lineales basado en gráficos lineales, también podemos encontrar ecuaciones cuadráticas basándonos en la parábola.

Sabemos que el valor de $a$ nos dice si el gráfico se abre hacia arriba o hacia abajo. Entonces, si el gráfico se abre hacia abajo, el valor de $a$ tiene que ser negativo. Si el gráfico se abre hacia arriba, el valor de $a$ tiene que ser positivo.

También sabemos que el valor de $c$ nos dice el intercepto en $y$ sobre el gráfico. Así, si conocemos el intercepto en $y$ entonces conocemos el valor de $c$ .

Si tenemos un gráfico, entonces también podemos trabajar en retroceso; podemos llenar una tabla T utilizando los puntos que vemos sobre el gráfico. Luego, al buscar un patrón en la tabla, podemos derivar la ecuación.

¡Es como ser un detective cuando tienes que encontrar la ecuación!

Observemos lo siguiente.

Escribe la ecuación para el gráfico dado.

El gráfico se abre hacia abajo, así que $a < 0$ .

El intercepto en $y$ es 3, así que $c = 3$ .

$x$	$y$
$-2$	$-1$
$-1$	${\color{white}-} 2$
${\color{white}-} 0$	${\color{white}-} 3$
${\color{white}-} 1$	${\color{white}-} 2$
${\color{white}-} 2$	$-1$

Forma estándar: $y=ax^2+bx+c$

$c = 3$ así que $y=ax^2+bx+3$

El gráfico se abre hacia abajo y vemos el mismo patrón que con $y = -x^2$ .

La ecuación podría ser $y=-x^2+3$ .

Prueba el punto (1, 2) $\rightarrow$ ¿ $2=(-1)^2+3$ ?

¡Sí! Nuestra ecuación es correcta.

Responde cada pregunta sobre parábolas.

Ejemplo A

Si el valor de $c$ es $4$ , ¿en dónde se encuentra el intercepto en Y del gráfico?

Solución: $4$

Ejemplo B

Si el valor de $a$ es $-3$ , ¿se abrirá la parábola hacia arriba o hacia abajo?

Solución: Hacia abajo.

Ejemplo C

Si la parábola se abre hacia arriba, ¿qué valor es positivo $a, b$ o $c$ .

Solución: $a$

Ahora, volvamos al problema del comienzo de esta Sección.

Aquí está nuevamente la parábola.

La parábola se abre hacia arriba, así que sabemos que el valor de $a$ será positivo.

La parábola es simétrica sobre el eje Y. El intercepto en Y es cero.

La ecuación es $y=x^2$ .

Si reemplazamos un par ordenado en la ecuación, podemos comprobar nuestro trabajo.

$4 = -2^2$

$4 = 4$

¡Nuestra ecuación se comprueba!

Vocabulario

Parábola: es una gráfico en forma de U que no es lineal.

Ecuaciones Cuadráticas: son ecuaciones elevadas a la segunda potencia cuyo gráfico siempre es una parábola.

Vértice de una Parábola: es el punto inferior o superior de una parábola.

Práctica Guiada

A continuación, hay un ejercicio para que lo intentes resolver solo.

Encuentra la ecuación para la siguiente parábola.

Solución

Primero, nota que el intercepto en Y es -4.

También puedes ver que el gráfico es simétrico al eje Y . Esto significa que la primera parte de nuestra ecuación es $x^2$ .

Ahora, podemos escribir la ecuación completa.

$y=x^2-4$

Esta es nuestra respuesta.

Revisión en Video

Haz clic en la imagen superior para encontrar más información (requiere conexión a internet)

Determining the Equation of a Parabola from a Graph

*video disponible solo en inglés

Práctica

Instrucciones: responde las siguientes preguntas sobre parábolas.

Verdadero o Falso. Todas las parábolas son simétricas.
Verdadero o Falso. El intercepto en $y$ es igual al valor de $c$ .
Una parábola con un valor al cuadrado positivo se abre hacia _____________.
Una parábola con un valor al cuadrado negativo se abre hacia _____________.
¿Cuál es el vértice de la parábola?
Verdadero o Falso. Una parábola siempre tiene una forma de U.
Verdadero o Falso. Mientras más cerca de cero se encuentra el valor de $a$ más ancha es la parábola.
Verdadero o Falso. Mientras más cerca de cero se encuentra el valor de $a$ más estrecha es la parábola.
Verdadero o Falso. El valor de $b$ determina el eje de simetría.
¿Qué indica el valor de $c$ ?
Verdadero o Falso. Una ecuación lineal tendrá un gráfico que es una parábola.
Verdadero o Falso. Una ecuación cuadrática y una ecuación lineal tendrán un gráfico similar.

Escribe las ecuaciones de los siguientes gráficos. Utiliza los valores de $a$ y $c$ y una tabla T para ayudarte.

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