Evaluar Funciones Cuadráticas

En esta sección, evaluarás y graficarás funciones cuadráticas mediante el uso de tablas.

¿Has pensado alguna vez en la velocidad de una pelota de béisbol? Observemos este problema.

Mientras pasaban por el campo de béisbol, el Sr. Travis le entregó a los estudiantes el siguiente problema escrito en un pedazo de papel con forma de pelota de béisbol. Esto es lo que decía:

Cuando se lanza un objeto al aire con una velocidad inicial de $r$ pies por segundo, su distancia $d$ en pies, sobre su punto de inicio $t$ en segundos luego de ser lanzada, es aproximadamente $d=rt-16t^2$ . Utiliza la tabla de valores para mostrar la distancia de un objeto desde su punto de inicio que tiene una velocidad inicial de 80 pies por segundo. Luego, grafica la velocidad de la pelota.

Para resolver este problema, necesitarás saber sobre las funciones cuadráticas y sus gráficos. Pon atención, porque al final de esta Sección, tendrás que resolver este problema.

Orientación

Una función es una relación que asigna exactamente un valor del dominio a cada valor de rango. Cuando decimos función cuadrática , nos referimos a cualquier función que se pueda escribir en la forma $y=ax^2+bx+c$ , donde $a, b,$ y $c$ son constantes y $a \neq 0$ . Definimos esto como la forma estándar.

¿Por qué $a$ no puede ser igual a cero? ¿Qué pasa si es igual a cero? Si el valor de $a$ es cero, podrías notar que haría desaparecer el primer término $ax^2$ porque cualquier cosa multiplicada por cero es cero. Simplemente, te quedarías con $y=bx+c$ . Aunque esta es todavía una función, ya no es cuadrática. Esta es una función lineal. Todas las funciones cuadráticas son de $2^{nd}$ grado.

Observemos funciones cuadráticas en mayor detalle.

Sabes que la palabra dominio se refiere a valores de entrada y la palabra rango se refiere a valores de salida. Recuerda que una función es una relación que asigna exactamente un valor del dominio a cada valor del rango. Esto quiere decir que para cada valor de $x$ existe solo un valor de $y$ .

Podemos encontrar los valores de $y$ al reemplazar los valores de $x$ ven la función. Organizamos la información utilizando una tabla de valores o tabla T. En la mayoría de los casos, los valores de entrada pueden ser cualquier número. Sin embargo, para nuestra conveniencia, utilizaremos números negativos, cero y números positivos.

Completa una tabla de valores para la función $y=x^2+3x+2$ .

$x$	$y$
$-3$
$-2$
$-1$
${\color{white}-} 0$
${\color{white}-} 1$
${\color{white}-} 2$
${\color{white}-} 3$

Para encontrar los valores de $y$ sustituimos los valores de $x$ en la ecuación.

La tabla T completa debería lucir así:

$x$	$y$
$-3$	$2$
$-2$	$0$
$-1$	$0$
${\color{white}-} 0$	$2$
${\color{white}-} 1$	$6$
${\color{white}-} 2$	$12$
${\color{white}-} 3$	$20$

Evaluar una función cuadrática es siempre igual. Reemplazas los valores de $x$ en la ecuación y resuelves los valores de $y$

Los valores de $a, b,$ y $c$ tienen un efecto sobre los gráficos de las ecuaciones cuadráticas. Ahora, vamos a utilizar esta información cuando analizamos una función cuadrática. Lo que sabemos de los valores de $a, b,$ y $c$ nos ayuda a entender la abertura de una parábola.

Valor	Lo que te dice	Ejemplo $y = -3x^2 + x -2$
$a$	Si $a > 0$ , el gráfico se abre hacia abajo Si $a <$ el gráfico se abre hacia abajo Si $a$ es cercana a cero, más ancho es el gráfico. Si $a$ está alejada de cero, más estrecho es el gráfico.	$a = -3$ $a$ es menor a cero, así que el gráfico se abre hacia abajo $a$ está más lejos de cero, así que el gráfico será más estrecho
$b$	Ayuda a predecir el eje de simetría	$b = 1$ Eje de simetría de la parábola
$c$	Intercepto en $y$	$c = -2$ El gráfico cruza el eje $y$ en -2

Valor

Lo que te dice

Ejemplo $y = -3x^2 + x -2$

$a$

Si $a > 0$ , el gráfico se abre hacia abajo

Si $a <$ el gráfico se abre hacia abajo

Si $a$ es cercana a cero, más ancho es el gráfico.

Si $a$ está alejada de cero, más estrecho es el gráfico.

$a = -3$

$a$ es menor a cero, así que el gráfico se abre hacia abajo

$a$ está más lejos de cero, así que el gráfico será más estrecho

$b$

Ayuda a predecir el eje de simetría

$b = 1$

Eje de simetría de la parábola

$c$

Intercepto en $y$

$c = -2$

El gráfico cruza el eje $y$ en -2

Sabemos que el gráfico de una función cuadrática siempre será una parábola. Una parábola es una figura en forma de U que siempre es simétrica en ambos lados. Se puede abrir hacia arriba o hacia abajo. Además, una parábola no es lineal; ninguna parte de la parábola es en realidad una recta extendida. Por lo tanto, no puede ser vertical.

Si quisiéramos predecir la forma de una parábola, tendríamos que observar el valor de $a$ . Sabemos que $a$ nos ayuda a determinar la forma de una parábola.

Observemos.

$& y = x^2 && y = 3x^2 && y = \frac{1}{3}x^2\\\& a = 1 \ so \ a > 0 && a = 3 \ so \ a > 0 && a = \frac{1}{3} \ so \ a > 0\\\& \text{graph opens upward} && \text{graph opens upward} && \text{graph opens upward}\\\& \text{neither wide nor narrow} && \text{graph is narrow} && \text{graph is wide}$

Ahora que entiendes cómo lucen estos gráficos y cómo la ecuación del gráfico afecta su forma, es tiempo de hacer algunas predicciones.

¿Qué predecirías sobre el gráfico de $y = 7x^2$ ?

Debido a que el valor de $a$ es 7, sería muy estrecho. Además, debido a que $a > 0$ , se abriría hacia arriba.

Responde las siguientes preguntas haciendo predicciones.

Ejemplo A

Predice la abertura de $-3x^2+4$ .

Solución: Se abriría hacia abajo, ya que el valor de $a$ es negativo.

Ejemplo B

En la función cuadrática del Ejemplo A, ¿dónde estará el vértice?

Solución: En el punto $4$

Ejemplo C

¿Qué gráfico tendrá una abertura más ancha: uno con vértice en 0 o uno con vértice en 8?

Solución: Uno con vértice en 0.

Ahora, volvamos al problema del comienzo de esta Sección.

Primero, pensemos en la información que tienes y la ecuación que puedes escribir.

$r & = 80\\\d & = 80t - 16t^2$

Luego, podemos hacer una tabla de valores.

$& t \ (seconds) \quad \qquad 0 \qquad 1 \qquad 2 \qquad 3 \qquad 4 \qquad 5\\\& d \text{ distance } (ft) \quad \ 0 \quad \ \ 64 \quad \ \ 96 \quad \ 96 \quad \ \ 64 \quad \ \ 0$

Finalmente, podemos tomar esos valores, insertarlos en una calculadora gráfica y crear el siguiente gráfico.

Vocabulario

Dominio: es el valor de entrada, valor independiente.

Rango: es el valor de salida, valor dependiente.

Función: es la relación que asigna un valor del dominio a cada valor de rango.

Función Cuadrática: crea una parábola y es una ecuación de $2^{nd}$ grado en forma estándar.

Práctica Guiada

A continuación, hay un ejercicio para que lo intentes resolver solo.

¿Qué predecirías sobre el gráfico de $y = - \frac{1}{4}x^2$ ?

Solución

Debido a que el valor de $a$ es $-\frac{1}{4}$ , sería muy ancho. Además, debido a que $a < 0$ , se abriría hacia abajo.

Revisión en Video

Haz clic en la imagen superior para encontrar más información (requiere conexión a internet)

Quadratic Functions 1

*video disponible solo en inglés

Práctica

Utiliza tablas para graficar las siguientes funciones.

$y = x^2 - 8$
$y = 3x^2 - x + 4$
$y = 2x^2 + 4$
$2y = 4x^2 + 4$
$3y = 6x^2 + 12$
$4y = 2x^2 - 12$
$3y-1 = 6x^2 + 11$
$2y+2 = 2x^2 + 4$
$y = - 2x^2 + 5x$
$y = -x^2 + 3x - 7$
$y = \frac{2}{3}x^2 + 2x - 1$
$y = x^2 + 8$
$y = - 2x^2 + 5x$
$y = -x^2 + 3x - 1$
$y = 3x^2 + 2x + 1$

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