Funciones Exponenciales

En esta sección, reconocerás, evaluarás y graficarás funciones exponenciales.

¿Has estado alguna vez en un laboratorio o has llevado a cabo un experimento? Observemos este problema.

"Mi amiga, la profesora Smith, nos ha dado un problema", dijo el Sr. Travis cuando los estudiantes regresaron a la sala de clases.

"¿Cuál es?", preguntó Janet.

"Aquí vamos, vean lo que pueden hacer con esto", dijo el Sr. Travis y escribió el siguiente problema sobre la pizarra.

En un laboratorio, una cepa de bacterias puede doblarse en número cada 15 minutos. Suponiendo que un cultivo comienza con 60 células, utiliza una calculadora gráfica o una tabla de valores para mostrar el crecimiento de la muestra después de 2 horas. Utiliza la función $b=60 \cdot 2^q$ donde $b$ es el número de células que hay luego de cuartos de hora $q$ .

Para trabajar en este problema, tienes que entender las funciones exponenciales. Pon atención a esta Sección y para el final sabrás cómo resolver este problema.

Orientación

Pensemos en las funciones exponenciales al analizar la siguiente situación.

Dos chicas de un pequeño pueblo una vez compartieron un secreto solo entre ellas. Aunque no lo pudieron soportar y cada una de ellas le contó el secreto a tres amigas. Por supuesto, ninguna de sus amigas pudo guardar el secreto y cada una de ellas lo contó a tres de sus amigos. Esos amigos lo contaron a tres amigos y estos últimos lo contaron a tres amigos y así sucesivamente, y muy pronto todo el pueblo conocía el secreto. ¡Ya no había nadie a quien contárselo!

Estas chicas experimentaron los sorprendentes efectos de una función exponencial.

Si comienzas con las dos chicas que contaron el secreto a tres amigas, puedes notar que lo contaron a 6 personas o $2 \cdot 3$ .

Cada una de esas seis personas lo contó a otras tres, de forma que $6 \cdot 3$ o $2 \cdot 3 \cdot 3$ lo contaron a 18 personas.

TCada una de esas 18 personas lo contó a otras tres, de forma que ahora tenemos $18 \cdot 3$ o $2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$ personas.

Puedes ver cómo esto va creciendo y podrías mostrar con una función el número de personas a las que se les contó el secreto en cada ronda de chismes: $y=ab^x$ donde $y$ es el número de personas a las que se les contó, $a$ son las dos chicas que comenzaron el chisme, $b$ es el número de amigos a los que cada una de ellas les contó, y $x$ es el número de rondas de chismes que ocurrieron.

Esto recibe el nombre de función exponencial —cualquier función que se puede escribir en la forma $y=ab^x$ , donde $a$ y $b$ son constantes, siendo , $a \ne 0,b>0$ , y $b \ne 1$ .

Como lo hicimos con las funciones lineales y cuadráticas, podríamos hacer una tabla de valores y calcular el número de personas a las que se les contó el secreto luego de cada ronda de chismes. Utiliza la función $y=2 \cdot 3^x$ donde $y$ es el número de personas a las que se les contó el secreto y $x$ es el número de rondas de chismes que ocurrieron.

$& x \ \text{rounds of gossip} \ \quad 0 \quad 1 \quad 2 \quad \ \ 3 \quad \quad 4 \quad \quad 5\\\& y \ \text{people told} \qquad \quad \ \ 2 \quad 6 \quad 18 \quad 54 \quad 162 \quad 486$

¿Cómo puedes saber si una función es una función exponencial?

Si la función se puede escribir en la forma $y=ab^x$ , donde $a$ y $b$ son constantes, siendo $a \ne 0, b>0,$ y $b \ne 1$ , entonces tiene que ser exponencial. En ecuaciones cuadráticas, las funciones siempre eran elevadas a la $2^{nd}$ potencia. En funciones exponenciales, el exponente es una variable. Sus gráficos tendrán una curva característica hacia arriba o abajo.

Funciones Exponenciales

$y=2^x$
$c=4 \cdot 10^d$
$y=2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^x$
$t=4 \cdot 10^u$

Funciones No Exponenciales

$& 1.\ y=3 \cdot 1^x && 2.\ n=0 \cdot 3^p && 3. \ y=(-4)^x && 4. \ y=-6 \cdot 0^x\\\\text{because} & \quad \ b=1 && \quad \ a=0 && \quad \ b<0 && \quad \ b \le 1$

Las funciones exponenciales se pueden graficar mediante el uso de una tabla de valores igual a la que utilizamos para las funciones cuadráticas. Reemplaza los valores de $x$ y calcula los valores correspondientes de $y$ .

Observemos lo siguiente.

Grafica $y=2^x$ .

Aquí está la tabla.

$x$	$y=2^x$	$y$
$-3$	$y=2^{-3}$	$\frac{1}{8}$
-2	$y=2^{-2}$	$\frac{1}{4}$
-1	$y=2^{-1}$	$\frac{1}{2}$
0	$y=2^0$	0
1	$y=2^1$	2
2	$y=2^2$	4
3	$y=2^3$	8
4	$y=2^4$	16
5	$y=2^5$	32
6	$y=2^6$	64

Fíjate que las formas de los gráficos no son de parábolas como en los gráficos de funciones cuadráticas. Además, a medida que el valor de $x$ disminuye, el valor de $y$ se acerca a cero, pero nunca lo alcanza. A medida que el valor de $x$ disminuye aún más, el valor de $y$ podría acercarse infinitamente a cero, pero nunca cruzará el eje $x$ .

Identifica cada función.

Ejemplo A

$y=4^x$

Solución: Función exponencial.

Ejemplo B

$f(x)=2x-1$

Solución: Función lineal.

Ejemplo C

$y=ax^2-bx+c$

Solución: Función cuadrática.

Ahora, volvamos al problema del comienzo de esta Sección.

Primero, podemos crear una tabla T que vaya con la ecuación de la función. Aquí se muestran los valores en esa tabla.

$q$	$b$
0	60
1	120
2	240
3	480
4	960
5	1920
6	3840
7	7680
8	15360

A continuación, se muestra nuestro gráfico.

Vocabulario

Funciones Exponenciales: son resultados que se expanden exponencialmente. El gráfico se curva hacia arriba o abajo.

Práctica Guiada

A continuación, hay un ejercicio para que lo intentes resolver solo.

Grafica $y=2 \cdot \left( \frac{2}{3}\right)^x$

$x$	$y$
$-3$	$\frac{27}{4}$
-2	$\frac{9}{2}$
-1	3
0	2
1	$\frac{4}{3}$
2	$\frac{8}{9}$
3	$\frac{16}{27}$
4	$\frac{32}{81}$
5	$\frac{64}{243}$
6	$\frac{128}{729}$

Revisión en Video

Haz clic en la imagen superior para encontrar más información (requiere conexión a internet)

Graphing Exponential Functions

*video disponible solo en inglés

Práctica

Instrucciones: Clasifica las siguientes funciones como exponenciales o no exponenciales. Si no es exponencial, explica por qué.

$y=7^x$
$c=-2 \cdot 10^d$
$y=1^x$
$y=4^x$
$n=0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x$
$y=5 \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^x$
$y=(-7)^x$
Utiliza una tabla de valores para graficar la función $y=3^x$ .
Utiliza una tabla de valores para graficar la función $y=\left(\frac{1}{3}\right)^x$ .
¿Qué tipo de gráfico hiciste en el ejercicio número 7?
¿Qué tipo de gráfico hiciste en el ejercicio número 8?
Utiliza una tabla de valores para graficar la función $y=-2^x$ .
Utiliza una tabla de valores para graficar la función $y=5^x$ .
Utiliza una tabla de valores para graficar la función $y=-5^x$ .
Utiliza una tabla de valores para graficar la función $y=6^x$ .

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