Crecimiento o Decaimiento Exponencial

En esta sección, distinguirás entre crecimiento y decaimiento exponencial.

¿Has estado alguna vez en un condominio? Observemos este problema.

Un complejo de condominios cobra $185 mensuales como tarifa de la asociación de propietarios. Las tarifas pueden crecer cada año debido a la inflación, pero prometen no elevar la tarifa más de 10% cada año. Aunque recuerda que si elevan la tarifa 10% el primer año, el segundo año será ahora más costoso. Si elevan la tarifa al máximo nuevamente, están aumentando en 10% la tarifa original de $185 más el ajuste del primer año. Grafica la situación en un periodo de 10 años.

¿Cuánto podría ser la tarifa de propietarios en 10 años? Utiliza la función $f=185 \cdot 1.1^t$ donde $f$ es la tarifa luego de $t$ años.

Entender el crecimiento y decaimiento exponencial te ayudará a resolver este problema. Pon atención y abordarás este problema nuevamente al final de esta Sección.

Orientación

¿Sabe cómo identificar si una función es exponencial?

Si la función se puede escribir en la forma $y=ab^x$ , donde $a$ y $b$ son constantes, siendo , $a \ne 0, b>0,$ y $b \ne 1$ , entonces tiene que ser exponencial. En ecuaciones cuadráticas, las funciones siempre eran elevadas a la $2^{nd}$ potencia. En funciones exponenciales, el exponente es una variable. Sus gráficos tendrán una curva característica hacia arriba o abajo.

Funciones Exponenciales

$y=2^x$
$c=4 \cdot 10^d$
$y=2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^x$
$t=4 \cdot 10^u$

Funciones No Exponenciales

$& 1.\ y=3 \cdot 1^x && 2.\ n=0 \cdot 3^p && 3. \ y=(-4)^x && 4. \ y=-6 \cdot 0^x\\\\text{because} & \quad \ b=1 && \quad \ a=0 && \quad \ b<0 && \quad \ b \le 1$

En algunos casos con funciones exponenciales, a medida que aumenta el valor de $x$ también aumenta el valor de $y$ . Esta es una relación directa conocida como crecimiento exponencial . A medida que el valor de $x$ aumenta, el valor de $y$ crece rápidamente. El otro gráfico que observaste mostraba lo opuesto: A medida que el valor de $x$ aumentó, el valor de $y$ disminuyó. Esta es una relación inversa conocida como decaimiento . Los gráficos de estas funciones son opuestos, reflejados sobre el eje $y$ .

También podemos analizar funciones de crecimiento y decaimiento en situaciones cotidianas.

Una historia famosa nos cuenta sobre un cortesano que le presentó a un rey persa un hermoso tablero de ajedrez hecho a mano. El rey le preguntó que le gustaría recibir a cambio de su regalo y el cortesano sorprendió al rey al pedirle un grano de arroz en el primer cuadrado del tablero de ajedrez, dos granos de arroz en el segundo, cuatro granos en el tercero y así sucesivamente. El rey accedió y ordenó que trajeran el arroz. Ya en el cuadrado $21^{st}$ se habían utilizado sobre un millón de granos de arroz y para el cuadrado $41^{st}$ se necesitó más de un cuatrillón de granos de arroz. Simplemente, no había suficiente arroz en el mundo para completar los cuadrados finales.

Esta historia nos recuerda los aumentos drásticos que podemos ver en las funciones exponenciales. Aunque está historia es una fábula, existen muchas situaciones cotidianas en las que se puede ver el crecimiento exponencial.

Grafica cada función y determina si representará crecimiento o decaimiento exponencial.

Ejemplo A

$y=\frac{1}{2}^x$

Solución: Decaimiento exponencial.

Ejemplo B

$y=4^x$

Solución: Crecimiento exponencial.

Ejemplo C

$y=5^x$

Solución: Crecimiento exponencial.

Ahora, volvamos al problema del comienzo de esta Sección.

Primero, has una tabla de valores.

$t$	$f$
0	185
1	203.5
2	223.85
3	246.24
4	270.86
5	297.94
6	327.74
7	360.51
8	396.56
9	436.22
10	479.84

Ahora, grafica la función.

Vocabulario

Funciones Exponenciales: son resultados que se expanden exponencialmente. El gráfico se curva hacia arriba o abajo.

Gráfico de Crecimiento Exponencial: es un gráfico de relación directa en la que cada variable aumenta.

Gráfico de Decaimiento: es un gráfico de relación indirecta en la que una variable aumenta a medida que la otra disminuye.

Práctica Guiada

A continuación, hay un ejercicio para que lo intentes resolver solo.

¿Representa la siguiente función una función exponencial?

$y=3 \times 1^x$

Solución

No, no representa una función exponencial porque el valor de $b$ es 1.

Revisión en Video

Haz clic en la imagen superior para encontrar más información (requiere conexión a internet)

Exponential Growth Functions

*video disponible solo en inglés

Práctica

Instrucciones: Instrucciones: Grafica cada función. Luego, determina si representa crecimiento o decaimiento exponencial. Habrá dos respuestas para cada problema.

$y = 4^x$
$y =\frac{1}{2}^x$
$y =\frac{1}{3}^x$
$y =7^x$
$y =5^x$
$y =2^x$
$y =\frac{1}{4}^x$
$y =\frac{3}{4}^x$
$y =6^x$
$y =11^x$
$y =9^x$
$y =\frac{1}{8}^x$
$y = 12^x$
$y =\frac{2}{5}^x$
$y =13^x$

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