Secuencias Geométricas

En esta sección, reconocerás, extenderás y graficarás secuencias geométricas.

¿Has estado alguna vez en una sala de videojuegos? Observemos este problema.

En el camino a casa desde la escuela el día del tour al centro de la ciudad, un montón de estudiantes se detuvo en la sala de videojuegos. Siempre era entretenido conversar, pedir algo para comer y jugar a uno o dos videojuegos. Sam y Henry comenzaron a jugar su videojuego favorito que tenía extraterrestres.

"Eso tiene mucha matemática", comentó Sasha mientras Henry estaba en su turno.

"¿Cómo lo sabes?", preguntó Henry.

"Porque la tiene", dijo Sasha de manera convincente. "Piensalo, en este videojuego un extraterrestre se divide en dos extraterrestres que luego se dividen en dos extraterrestres más cada 10 minutos"

"Buen punto, ¿cuántos extraterrestres habrían luego de que se dividieran 10 veces?", preguntó Henry.

Podemos comenzar por analizar esto como un patrón de números. Esta Sección aborda los patrones y secuencias. Piensa en el videojuego, ya que tendrás que resolver la secuencia para el final de esta Sección.

Orientación

¿Has visto alguna vez una secuencia de números? Existen muchos tipos diferentes de secuencias que siguen patrones.

Una secuencia aritmética tiene una suma o resta fija entre cada término.

Ahora, observa las cajas que se muestran a continuación y verás otro tipo de secuencia.

¿Puedes ver un patrón? Las cajas aumentan cada vez. Utilizando números, la secuencia se podría escribir como 1, 4, 16, 64. Incluso podrías adivinar lo que sigue. ¿Existe una diferencia común entre los términos? No realmente. Existe una diferencia de 3 entre los dos primeros términos, 12 entre el segundo y tercer término, y 48 entre el tercer y cuarto término. Si adivinaste que lo que seguiría es 256 es porque encontraste el patrón. Notaste que para obtener el siguiente término, tienes que multiplicar por 4 en vez de sumar un número determinado.

Esta es una secuencia geométrica ; Es una secuencia en la que los términos se encuentran mediante la multiplicación de un número fijo que recibe el nombre de razón común . En la situación anterior, la razón común es 4.

Una vez que conoces la razón común, puedes encontrar el próximo término en el patrón.

Observemos lo siguiente.

¿Cuál es la razón común entre cada uno de los términos de la secuencia?

La razón es 2 entre cada número.

Puedes ver cómo saber la razón común nos ayuda a resolver problemas.

Considera la siguiente secuencia:

$8, 24, 72, 216, \ldots$

¿No intenta tu cerebro encontrar el siguiente término? Probablemente, encontraste que la razón común aquí es 3. Así que el siguiente término en la secuencia sería $216 \cdot 3$ o 648. Podrías continuar con el mismo proceso para encontrar el término que sigue. O podrías dividir por 3 para encontrar el término anterior.

Igual que como lo hicimos con las secuencias aritméticas, puede ser útil graficar las secuencias geométricas. Utilizaremos el mismo método que antes: Crear una tabla de valores y luego utilizar un plano cartesiano para ubicar los puntos.

Observemos esta situación.

La cantidad de memoria que pueden almacenar los chips de computadoras en la misma cantidad de espacio se dobla cada año. En 1992, podían almacenar 1MB. Determina los siguientes 15 años en una tabla de valores y muestra la cantidad de memoria con el mismo tamaño de chip en el año 2007

Año	Memoria (MB)
1992	1
1993	2
1994	4
1995	8
1996	16
1997	32
1998	64
1999	128
2000	256
2001	512
2002	1024
2003	2048
2004	4096
2005	8192
2006	16384
2007	32768

Encuentra la razón común para cada secuencia.

Ejemplo A

$2, 4, 8, 16$

Solución: $2$ es la razón común.

Ejemplo B

$1, 7, 49, 343$

Solución: $7$ es la razón común.

Ejemplo C

$400, 100, 25$

Solución: $\frac{1}{4}$ es la razón común.

Ahora, volvamos al problema del comienzo de esta Sección.

Podemos escribir un patrón de números.

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024

Habrá 1024 extraterrestres luego de 10 divisiones.

Esta es la respuesta al problema.

Vocabulario

Secuencia: es una serie de números que sigue un patrón.

Secuencia Geométrica: es una secuencia en la que encuentras los términos mediante la multiplicación de un número fijo por una razón común.

Práctica Guiada

A continuación, hay un ejercicio para que lo intentes resolver solo.

Encuentra la razón común en la secuencia.

$\frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}$

Solución

Cada uno de los valores se dividió en la mitad. Por lo tanto, la razón común es $\frac{1}{2}$ .

Esta es la respuesta.

Revisión en Video

Haz clic en la imagen superior para encontrar más información (requiere conexión a internet)

Geometric Sequences

*video disponible solo en inglés

Práctica

Instrucciones: Encuentra la razón común entre cada término.

$-4, 20, -100, 500, -2500$
$60, 15,$ $\frac{15}{4}$ , $\frac{15}{16}$
$\frac{1}{8}$ , $\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{2}$ , 1, 2
$3, 6, 12, 18$
$4, 2, 1, .5, .25$
$12, 24, 48$
$\frac{1}{2}, 1, 2$
$100, 50, 25, 12.5$

Instrucciones: Identifica las siguientes secuencias como aritméticas, geométricas o ninguna de ellas. En las secuencias aritméticas, encuentra la diferencia común. En las secuencias geométricas, encuentra la razón común.

1, 4, 7, 10, 13
180, 60, 20, $6 \frac{2}{3}$
102, 94, 86, 78
18, 27, 35, 43, 50
5, -50, 500, -5000, 50000
$\frac{1}{6}$ , $\frac{1}{12}$ , $\frac{1}{24}$ , $\frac{1}{48}$
$99, 33, 11$